Đề bài
a] Vẽ đồ thị của hàm số :
\[y = x + 1;\,\,\,y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3 ;\,\,\,y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\]
b] Gọi \[\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\,\gamma \]lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục Ox.
Chứng minh rằng \[tg\alpha = 1,\,\,\,tg\beta = \dfrac{1}{\sqrt 3 };\,\,\,tg\gamma = \sqrt 3\]
Tính số đo các góc \[α, β, \gamma. \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Cách vẽ đồ thị hàm số \[y=ax+b,\ [a \ne 0]\]:Đồ thị hàm số \[y=ax+b \, \, [a\neq 0]\] là đường thẳng:
+] Cắt trục hoành tại điểm \[A[-\dfrac{b}{a}; \, 0].\]
+] Cắt trục tung tại điểm \[B[0;b].\]
Xác định tọa độ hai điểm \[A\] và \[B\] sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số\[y=ax+b \, \, [a\neq 0].\]
b] Góc tạo bởi đường thẳng \[y=a x+b \, \ [a \neq 0]\] là góc \[\alpha \] ta có: \[tan \alpha = a.\]
+] Với \[a0\], góc \[\alpha\] là góc nhọn.
Hoặc sử dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông:
\[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] khi đó: \[tan B = \dfrac{AC}{AB} \]
Lời giải chi tiết
a]
+ Hàm số \[y = x + 1\]
Cho \[x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow A[0; 1]\]
Cho \[x=-1 \Rightarrow y=-1+1=0 \Rightarrow B[-1; 0]\]
Đồ thị hàm số\[y = x + 1\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[A[0; 1]\] và \[B[-1; 0]\]
+ Hàm số \[y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3\]
Cho \[x=-3 \Rightarrowy = \dfrac{1}{\sqrt 3 }.[-3] + \sqrt 3=0 \Rightarrow D[-3; 0]\]
Cho \[x=0 \Rightarrowy = \dfrac{1}{\sqrt 3 }.0 + \sqrt 3=\sqrt 3 \Rightarrow C[0; \sqrt 3]\]
Đồ thị hàm \[y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[D[-3; 0]\] và \[C[0; \sqrt 3]\]
+ Hàm số \[y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\]
Cho \[x=0 \Rightarrowy = \sqrt 3 .0 - \sqrt 3=-\sqrt 3 \Rightarrow E[0; -\sqrt 3]\]
Cho \[x=1 \Rightarrowy = \sqrt 3 .1 - \sqrt 3=0 \Rightarrow F[1; 0]\]
Đồ thị hàm số\[y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[E[0; -\sqrt 3]\] và \[F[1; 0]\]
b]
Cách 1:
+ Đường thẳng\[y = x + 1\] có hệ số góc là \[1\]
Suy ra \[tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 45^o\]
+ Đường thẳng\[y = \dfrac{1}{\sqrt 3 }x + \sqrt 3\] có hệ số góc là \[\dfrac{1}{\sqrt 3 }\]
Suy ra \[tan \beta =\dfrac{1}{\sqrt 3 } \Leftrightarrow \beta = 30^o\]
+ Đường thẳng\[y = \sqrt 3 x - \sqrt 3\] có hệ số góc là \[\sqrt 3\]
Suy ra \[tan \gamma =\sqrt 3 \Leftrightarrow \alpha = 60^o\]
Cách 2:
+ Ta có:
\[OA=OB=OF=1\], \[OE=OC=\sqrt 3\], \[OD = 3\].
+ Xét \[\Delta{OAB}\] vuông tại \[O\]
\[\Rightarrow \tan \alpha =tan\ B =\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{1}{1}=1\]
\[\Rightarrow \alpha = 45^o\]
Thực hiện bấm máy tính:
+ Xét \[\Delta{ODC}\] vuông tại \[O\]
\[\Rightarrow \tan \beta =tan\ D =\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\]
\[\Rightarrow \beta = 30^o\]
+ Xét \[\Delta{OEF}\] vuông tại \[O\]
\[\Rightarrow \tan \beta =tan \widehat{OFE} =\dfrac{OE}{OF}=\dfrac{\sqrt 3}{1}=\sqrt 3\]
\[\Rightarrow\gamma = 60^o\]
Lại có \[\widehat{OFE}\] và \[\gamma\] là hai góc đối đỉnh \[\Rightarrow\widehat{OFE}=\gamma\].
Vậy \[\gamma=60^o\].