Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \[AB = {1 \over 2}AC\] , AD là tia phân giác \[\widehat {BAC}\,\,\left[ {D \in BC} \right]\], gọi E là trung điểm của AC.
a] Chứng minh rằng DE = DB.
b] AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng \[\Delta DCK\] cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.
c] AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng \[AK \bot KC\]
d] Biết AB = 4 cm. Tính DK.
Lời giải chi tiết
a] Xét DEA và DBA ta có:
AD là cạnh chung,
\[\widehat {DAE} = \widehat {BAD}\] [AD là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
\[AE = AB[ = {1 \over 2}AC]\]
Do đó: DEA = DBA [c.g.c] => DE = DB
b] Ta có: \[\widehat {ABD} + \widehat {KBD} = 180^\circ\] [kề bù],
\[\widehat {AED} + \widehat {CED} = 180^\circ\] [kề bù]
\[\widehat {ABD} = \widehat {AED}\] [DBA = DEA]
Do đó \[\widehat {KBD} = \widehat {CED}.\]
Xét KBD = CED [g.c.g] => KD = CD => Tam giác DCK cân tại D.
Ta có: AB = EC [\[ = {1 \over 2}AC\]]
BK = EC [KBD = CED]
Suy ra AB = BK. Vậy B là trung điểm của AK [\[B \in AK\]].
c] Ta có: \[AB = {1 \over 2}AC[gt]\]
\[AB = {1 \over 2}AK\] [B là trung điểm của AK]
Do đó AC = AK => AKC cân tại A.
Mà AH là đường phân giác của AKC.
Nên AH cũng là đường cao của AKC. Vậy \[AH \bot KC.\]
d] \[AB = {1 \over 2}AC[gt]\]
=> AC = 2AB = 2.4 = 8 [cm]
ABC vuông tại A có BC2 = AB2 + AC2 [định lí Pythagore]
=> BC2 = 42 + 82 = 80 \[ \Rightarrow BC = 4\sqrt 5 [cm]\]
AKC có KE là đường trung tuyến [E là trung điểm của AC], CB là đường trung tuyến [B là trung điểm của AK và KE cắt CB tại D]
Nên D là trọng tâm của AKC \[ \Rightarrow DC = {2 \over 3}BC = {2 \over 3}.4\sqrt 5 = {{8\sqrt 5 } \over 3}[cm]\]
Mà DK = DC [câu b]. Do đó \[DK = {{8\sqrt 5 } \over 3}[cm].\]