Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA [ABCD]. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên cạnh CB và CD, đặt CM =x, CN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để :
a. Hai mặt phẳng [SAM] và [SAN] tạo với nhau góc 45˚ ;
b. Hai mặt phẳng [SAM] và [SMN] vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
Đó là hệ thức liên hệ giữa x và y để các mặt phẳng [SAM] và [SAN] tạo với nhau góc 45˚
b. Ta có: [SAM] [ABCD], từ đó nếu [SMN] [SAM] thì giao tuyến MN của [SMN] và [ABCD] sẽ vuông góc với [SAM], tức MN AM.
Ngược lại, nếu có MN AM thì do SA MN nên MN [SAM], suy ra [SMN] [SAM]
Vậy [SAM] [SMN] khi và chỉ khi \[\widehat {AMN} = 90^\circ .\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {a^2} + {\left[ {a - x} \right]^2} + {x^2} + {y^2} \cr &= {a^2} + {\left[ {a - y} \right]^2} \cr & \Leftrightarrow ay = x\left[ {a - x} \right]\cr & \text{ với } 0 \le x \le a,0 \le y \le a. \cr} \]