Đề bài
Cho cấp số cộng tăng \[[{u_n}]\] có \[u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\] và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu d là công sai của \[{S_{15}}\] là tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Vì \[[{u_n}]\] là cấp số cộng tăng nên \[d > 0.\]
Ta có
\[585 = {S_{15}} = {{15.[{u_1} + {u_{15}}]} \over 2} \]
\[\Leftrightarrow {u_1} + {u_{15}} = 78 \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 78\]
\[ \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 39\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
\[\eqalign{
& u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\cr& \Leftrightarrow {\left[ {{u_1} + {u_{15}}} \right]^3} - 3{u_1}{u_{15}}.\left[ {{u_1} + {u_{15}}} \right] = 302094 \cr
& \Leftrightarrow {78^3} - 3{u_1}.\left[ {{u_1} + 14d} \right].78 = 302094 \cr&\Leftrightarrow {u_1}.\left[ {{u_1} + 14d} \right] = 737\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] \cr} \]
Từ [1] và [2] ta được hệ
\[\left\{ \matrix{
{u_1} + 7d = 39 \hfill \cr
{u_1}.\left[ {{u_1} + 14d} \right] = 737 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ trên, với lưu ý \[d > 0\], ta được \[{u_1} = 11\] và \[d = 4\]