Đề bài
Câu 1. Cho \[\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}\] và \[\cos \alpha = - \dfrac{9}{{41}}\] . Tính \[\tan \left[ {\alpha - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right]\] .
Câu 2. Không dùng bảng hoặc máy tính cầm tay, hãy tính
\[\left[ {1 + \tan 20^\circ } \right]\left[ {1 + \tan 25^\circ } \right]\] .
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có \[{\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \dfrac{{1681}}{{81}} - 1\]\[\; = \dfrac{{1600}}{{81}}\].
Mà \[\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2}\] nên \[\tan \alpha > 0\]. Suy ra \[\tan \alpha = \dfrac{{40}}{9}\].
Do đó
\[\tan \left[ {\alpha - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right] = \dfrac{{\tan \alpha - \tan \dfrac{{3\pi }}{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \dfrac{{3\pi }}{4}}} \]
\[= \dfrac{{\tan \alpha + 1}}{{1 - \tan \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{40}}{9} + 1}}{{1 - \dfrac{{40}}{9}}} = - \dfrac{{49}}{{31}}\].
Câu 2.Ta có
\[\tan 45^\circ = \tan \left[ {20^\circ + 25^\circ } \right]\]\[\; = \dfrac{{\tan 20^\circ + \tan 25^\circ }}{{1 - \tan 20^\circ \tan 25^\circ }}\].
Suy ra: \[1 - \tan 20^\circ \tan 25^\circ \]\[\;= \tan 20^\circ + \tan 25^\circ \]
\[ \Leftrightarrow 1 + \tan 20^\circ + \tan 25^\circ + \tan 20^\circ \tan 25^\circ = 2\].
Vậy \[\left[ {1 + \tan 20^\circ } \right]\left[ {1 + \tan 25^\circ } \right] = 2\].