Đề bài
Cho đường tròn [O; R]. Vẽ tam giác đều nội tiếp và hãy tính cạnh của tam giác theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm tam giác.
+Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Lời giải chi tiết
Trên đường tròn [O; R] lấy lần lượt các dây cung \[AB= BC = CD = DE = EF = FA\]\[\, [=R]\]
Nối A với C, C với E, E với A, ta được \[AC = CE = EA\].
Do đó \[ACE\] đều.
Ta đã biết : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm tam giác. Ta có :
\[CH = CO + OH = R + \dfrac{R }{ 2}\] [ tính chất trọng tâm]
\[\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{3R} }{ 2}\]
AHC vuông ta có :
\[AH = CH.\cot A = \dfrac{{3R} }{ 2}.\cot 60^\circ \]\[\,= \dfrac{{3R} }{2}.\dfrac{1}{ {\sqrt 3 }} = \dfrac{{R\sqrt 3 } }{ 2}\]
\[ \Rightarrow AE = R\sqrt 3 .\]
Vậy cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn [O; R] là \[R\sqrt 3 .\]