Đề bài
Một đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn [O; R]. Lấy M bất kì trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn [O] [P, Q là các tiếp điểm]. Kẻ \[OH d\]. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng :
a. \[OH.OI = OM.OK = {R^2}\]
b. Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn luôn cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Sử dụng:
+Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
+Đường trung trực của đoạn thẳng
+Tam giác đồng dạng
+Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
b. Sử dụng kết quả ý a
Lời giải chi tiết
a. Ta có: MP và MQ là hai tiếp tuyến của [O] nên \[MP = MQ\], lại có \[OP = OQ [=R]\]
Do đó MO là đường trung trực của đoạn PQ nên \[MO PQ\]
Lại có : MQO vuông có QK là đường cao nên \[OM.OK = O{Q^2} = {R^2}\]
Mặt khác, hai tam giác vuông OKI và OHM đồng dạng [vì có \[{\widehat O_1}\] chung]
\[ \Rightarrow {{OK} \over {OH}} = {{OI} \over {OM}}\]
\[\Rightarrow OH.OI = OM.OK = {R^2}\,\left[ 1 \right]\]
b. Từ [1] \[ \Rightarrow OI = {{{R^2}} \over {OH}}\] [không đổi vì O cố định và d cố định], do đó I cố định.