Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 3{x^4} + 4{x^2} + 2 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow \left( {{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó : (*) \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge mx \Leftrightarrow m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x},\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\) có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 2.\)

Để \(m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 2\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow S = \left\{ {1;2} \right\}.\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \(1 + 2 = 3\).

Chọn: D

Bất phương trình tương đương với \(\left( {{m^2} - m - 6} \right)x <  - 2 - m\).

Rõ ràng nếu \({m^2} - m - 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne  - 2}\\ {m \ne 3}

\end{array}} \right.\) bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = - 2 bất phương trình trở thành 0x < 0: vô nghiệm.

Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x < - 5: vô nghiệm.

Suy ra \(S = \left\{ { - 2;3} \right\} \to  - 2 + 3 = 1.\) 

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Số câu hỏi: 39

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ((m^2)( ((x^4) - 1) ) + m( ((x^2) - 1) ) - 6( (x - 1) ) >= 0 ) đúng với mọi (x thuộc R ). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

Câu 59746 Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({m^2}\left( {{x^4} - 1} \right) + m\left( {{x^2} - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \ge 0\) đúng với mọi \(x \in R\). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

Đáp án đúng: c

Phương pháp giải

+) Đưa phương trình đã cho về dạng tích, có nhân tử \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right)\).

+) Để bất phương trình luôn đúng với mọi \(x\) thì ta xét các trường hợp:

TH1: Phương trình \({m^2}{x^3} + {m^2}{x^2} + \left( {{m^2} + m} \right)x + {m^2} + m - 6 = 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

TH2: Đa thức \({m^2}{x^3} + {m^2}{x^2} + \left( {{m^2} + m} \right)x + {m^2} + m - 6\) có nghiệm \(x = 1\)

+) Thử lại và kết luận.

...