Vectơ pháp tuyến của phương trình đoạn chắn

Hướng dẫn giải:Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0)và C(0; 0; 2)=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1Chọn C.Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2;-1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao choG là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:A. 2x - y+ 2z + 3 = 0B. 2x – y - 2z – 6 =0C. 2x + y - 2z + 9 = 0D. 2x+ y + 3z - 9 =0Hướng dẫn giải:Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P)phương trình có dạng:Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên Chọn B.Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểmH(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) saocho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:A. 2x+ y + z - 6= 0B. 2x + y + z+ 6 = 0C. 2x – y + z +6 = 0D. 2x+ y - z + 6 = 0Hướng dẫn giải:Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P)phương trình có dạng:Tacó:Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0Chọn A.Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểmM(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốctoạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phươngtrình là:A. x – y - z- 3 = 0B. x+ y+ z+ 3= 0C. x+ y+ z - 3 = 0D. x+ y – z+ 3 = 0Hướng dẫn giải:Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 . Khi đóphương trình mặt phẳng (P) có dạng: Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.cÁp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3⇔a=b=c=3(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0Chọn CDạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vng góc vớiđường thẳng d.1. Phương pháp giải+ Đường thẳng d:phương.nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ nhận vecto u→(a; b; c) làm vectoĐường thẳng :chỉ phương.+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vng góc với đường thẳng dta làm như sau:Tìm vecto chỉ phương của d là ud→Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến nα→2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Ovà vng góc với đường thẳng d:A. 2x – z = 0B. –y+ 2z= 0C. x- y+ 2z= 0D. x + z = 0Hướng dẫn giải:+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)+Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyếnlà:nP→ →= ud→(2; 0; -1)+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Với Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

+ Cho điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) với a.b≠0. Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

=1

Ví dụ 1. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ;0) và B( 0 ; 5) là:

A. 5x - 2y - 10 = 0    B. 5x - 2y + 10 = 0    C. 2x - 5y - 10 = 0    D. 2x + 5y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ; 0) và B( 0 ; 5) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

= 1

⇔ 5x - 2y + 10 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 5; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. 3x - 5y - 30 = 0    B. 3x + 5y - 30 = 0    C. 5x - 3y - 34 = 0    D. 5x - 3y + 34 = 0

Lời giải

Gọi A ∈ Ox ⇒ A(xA; 0); B ∈ Oy ⇒ B(0; yB)

Ta có M là trung điểm AB ⇒

Suy ra (AB):

= 1 ⇔ 3x - 5y - 30 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 3 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M( 2; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2    B. 3    C. 1    D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn (AB): =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

TH1: b = a ⇒

+ = 1 ⇔ x + y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 - 3 = a ⇔ a = -1 ⇒ b = -1

Vậy phương trình (AB) : x + y + 1= 0 .

TH2: b = - a ⇒ - = 1 ⇔ x - y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 + 3 = a ⇔ a = 5 ⇒ b = - 5

Vậy phương trình ( AB) : x - y - 5= 0 .

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn A.

Ví du 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -3) và B(-2; 0).

A. 2x + 3y - 6 = 0    B. 3x + 2y - 6 = 0    C. 3x + 2y + 6 = 0    D. 2x - 3y - 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB:

= 1

Hay (AB) : 3x + 2y + 6 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. -

+ = 1    B. + = 1    C. - - = 1    D. - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(- 3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 3).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

- + = 1

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: x + y - 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn?

A. - = 1    B.

- = 1    C. + = 1    D. - - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(6;0) .

Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B(0;6).

Đường thẳng d đi qua hai điểm A(6;0) và B(0; 6) nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là: + = 1

Chọn C.

Ví dụ 7. Phương trình tổng quát của đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( 3 ; 0) và       B(0 ; -2) là:

A. 3x - 2y + 1 = 0    B. -2x + 3y + 6 = 0    C. 2x - 3y + 6 = 0    D. 2x - 3y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3 ; 0) và B( 0 ; -2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

= 1

⇔ -2x + 3y + 6 = 0

Chọn B.

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;-2) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. – 4x + 2y + 8 = 0    B. 4x + 2y + 8 = 0    C. 2x - y + 1 = 0    D. 2x + y = 0

Lời giải

Gọi A (a ; 0) ∈ Ox; B(0; b) ∈ Oy

Ta có M là trung điểm AB nên :

⇔ a = 2 và b = - 4

Suy ra phương trình AB :

= 1 hay – 4x + 2y + 8 = 0

Chọn A.

Ví dụ 9 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M(3;3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2    B. 3    C. 1    D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

TH1: b = a ⇒ + = 1 ⇔ x + y = a

Mà M(3;3) thuộc AB nên 3 + 3 = a ⇔ a= 6 ⇒ b= 6

Vậy phương trình (AB) : x + y - 6 = 0 .

TH2: b = - a ⇒ - = 1 ⇔ x - y = a

Mà M( 3; 3) thuộc AB nên 3 - 3= a ⇔ a= 0 ⇒ b= 0 ( loại vì khi đó 3 điểm A; B và O trùng nhau)

Vậy có một đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 0; 4) và B( -3;0).

A. 4x + 3y - 6 = 0    B. 4x - 3y - 6 = 0    C. 4x - 3y + 12 = 0    D. 4x - 3y + 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: - +

= 1

Hay (AB) : 4x - 3y + 12 = 0

Chọn C.

Ví dụ 11: Cho đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. -

+ = 1    B. + (- ) = 1    C. - - = 1    D. - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(-2;0) và cắt trục Oy tại B(0; 4).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

- + = 1

Chọn A