Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \[u_n\] biết:
LG a
\[u_n= \dfrac{1}{n}-2\]
Phương pháp giải:
Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau:
Cách 1: Xét hiệu \[u_{n+1}-u_n\]
+] Nếu hiệu trên lớn hơn \[0\] chứng tỏ \[u_{n+1}>u_n\] do đó dãy số là dãy tăng.
+] Nếu hiệu trên nhỏ hơn \[0\] chứng tỏ \[u_{n+1}u_n\] do đó dãy số là dãy tăng.
+] Nếu thương trên nhỏ hơn \[1\] chứng tỏ \[u_{n+1}0\]
\[\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in {\mathbb N}\]
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Cách khác:
\[{u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 1}} - \frac{2}{{n + 1}} = 1 - \frac{2}{{n + 1}}\]
Với mọi n thuộc N* ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left[ {n + 1} \right] + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\\
{u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\\
\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow - \frac{1}{{n + 2}} > - \frac{1}{{n + 1}}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} > 1 - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\]
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
LG c
\[{u_n} = {[ - 1]^n}[{2^n} + 1]\]
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\;{u_1}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}0,{\rm{ }}{u_4}\; > {\rm{ }}0,{\rm{ }} \ldots }\\
{ \Rightarrow \;{u_1}\; < {\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_2}\; > {\rm{ }}{u_3},{\rm{ }}{u_3}\; < {\rm{ }}{u_4},{\rm{ }} \ldots }
\end{array}\]
dãy số \[[u_n]\]không tăng, không giảm.
Chú ý:
Các dãy số mà có số hạng đan dấu là dãy số không tăng và cũng không giảm.
LG d
\[u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\]
Phương pháp giải:
Xét thương \[ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\][vì \[u_n> 0\]với mọi\[n \in {\mathbb N}^*\]] rồi so sánh với \[1\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[{u_{n + 1}} = \frac{{2\left[ {n + 1} \right] + 1}}{{5\left[ {n + 1} \right] + 2}} = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}}\]
\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\]\[ =\dfrac{2n+3}{5n+7}:\dfrac{2n+1}{5n+2 }\]
\[ =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\]
\[ = \dfrac{{\left[ {2n + 3} \right]\left[ {5n + 2} \right]}}{{\left[ {5n + 7} \right]\left[ {2n + 1} \right]}}\]
\[= \dfrac{{10{n^2} + 15n + 4n + 6}}{{10{n^2} + 14n + 5n + 7}}\]
\[=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}