Đề bài
Tính diện tích hình thoi có cạnh dài \[6\,cm\] và một trong các góc của nó có số đo là\[60^{\circ}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
\[S = ah\]
- Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo.
\[S=\dfrac{1}{2}{d_1}.{d_2}\]
Lời giải chi tiết
Xét hình thoi \[ABCD\] có cạnh \[6cm\] và \[\widehat {BAD}=60^0\]. Kẻ \[BH\bot AD\]
Công thức tổng quát tính độ dài đường cao BH:
Ta có \[ABD\] là tam giác đều [vì tam giác \[ABD\] cân có \[\widehat{A}\]=\[60^{\circ}\] ]
Tam giác \[ABD\] đều nên đường cao BH cũng là đường trung tuyến hay \[H\] là trung điểm của \[AD\]
Suy ra \[AH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{AB}{2}\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[ABH\] có:
\[B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\]
\[= A{B^2}-\left [ \dfrac{AB}{2} \right ]^{2}\]
\[= A{B^2}-\dfrac{AB^{2}}{4} = \dfrac{3AB^{2}}{4}\].
\[\Rightarrow BH = \dfrac{AB.\sqrt{3}}2\] [cm]
Tổng quát: Đường cao tam giác đều cạnh \[a\] có độ dài là: \[{h_a}=\dfrac{a\sqrt{3}}2\]
Áp dụng vào bài với cạnh \[a=6cm\] thì\[ BH = \dfrac{a.\sqrt{3}}2 = \dfrac{6\sqrt{3}}2 =3\sqrt3\] [cm]
Tính diện tích hình thoi ABCD.
Cách 1:
Ta có:\[ BH =3\sqrt3\] [cm] [theo trên]
\[{S_{ABCD}}= BH. AD = 3\sqrt 3. 6 \]\[\,= 18\sqrt 3\;[c{m^2}]\]
Cách 2:
Vì \[ABD\] là tam giác đều nên \[BD = AB = 6\,cm\], \[AI\] là đường cao đồng thời là trung tuyến tam giác nên \[AI = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} =3\sqrt3\] [cm]
\[\Rightarrow AC =2AI= 6\sqrt 3\] [cm]
\[{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{2} BD. AC = \dfrac{1}{2} 6.6\sqrt 3 \]\[\,=18\sqrt 3\; [c{m^2}]\]