Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A 0 và B 30
|
Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau. Bài 9 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 2. Phương trình tham số của đường thẳng Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau a) \(A = ( – 3;0),B(0;5);\) b) \(A = (4;1),B = (4;2);\) c) \(A = ( – 4;1),B = (1;4).\)  Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;5} \right)\) Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm qua A(-3, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {3;5} \right)\) là: \(\left\{ \matrix{ x = – 3 + 3t \hfill \cr y = 5t \hfill \cr} \right.\) Phương trình chính tắc là: \({{x + 3} \over 3} = {y \over 5}\) Phương trình tổng quát là: \(5x – 3y + 15 = 0\) b) \(\overrightarrow {AB} \left( {0;1} \right)\) Quảng cáoPhương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = 1 + t \hfill \cr} \right.\) Không có phương trình chính tắc. Phương trình tổng quát là: \(x – 4 = 0\) c) \(\overrightarrow {AB} \left( {5;3} \right)\) Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \( \left\{ \matrix{ x = – 4 + 5t \hfill \cr y = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\) Phương trình chính tắc là: \({{x + 4} \over 5} = {{y – 1} \over 3}\) Phương trình tổng quát là: \(3x – 5y + 17 = 0.\)
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Nội dung bài viết Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. Phương pháp giải: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng A ta cần xác định. Điểm A. Một vectơ pháp tuyến n(a, b) của A. Khi đó phương trình tổng quát của A là a(c – a) + 6( g – 6) = 0. Chú ý: Đường thẳng A có phương trình tổng quát là a + b + c = 0, nhận m(a; b) làm vectơ pháp tuyến. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thằng kia. Phương trình đường thẳng A qua điểm M có dạng hoặc ta chia làm hai trường hợp: Nếu đường thẳng song song với trục Og, nếu đường thẳng cắt trục O. Phương trình đường thẳng. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3). Viết phương trình tổng quát của: a) Đường cao AH. b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC. c) Đường thẳng AB. d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB. a) Vì AH vuông góc BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH. Ta có BC(1; -1) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 1.(x – 2) = 0 hay 1 – 3 – 2 = 0. b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Gọi I là trung điểm BC khi đó suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC. Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực. c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB. d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n(2; 1) do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận m(2; 1) làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2.(x – 1) + 1.(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0. Cách 2: Đường thẳng A song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = 0. Điểm C thuộc A suy ra c = -5. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x + 3 – 5 = 0. . Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2 – 2y + 3 = 0 và điểm M(-1; 2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng A biết: a) A đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3. b) A đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. c) A đối xứng với đường thẳng d qua M. a) Đường thẳng A có hệ số góc k = 3 có phương trình dạng y = 3x + m . Mặt khác MEA = 2 = 3.(-1) + m = m = 5. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng A là y = 3x + 5 hay 30 – 4 + 5 = 0. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng A là y = -2x – 2 hay 20 + y + 2 = 0. c) Cách 1: Ta có –1 – 2.2 + 3 = 0 do đó M < d vì vậy đường thẳng A đối xứng với đường thẳng d qua M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng A có VTPT là m(1; -2). Vậy phương trình tổng quát đường thẳng A là 1.(x + 3)- 20g – 2 = 0 hay 3 – 2 + 7 = 0. Cách 2: Gọi A(0; 36 ) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d, A'(x; g) là điểm đối xứng với A qua M.
Quảng cáo * Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định : - Điểm A(x0; y0) thuộc d - Một vectơ pháp tuyến n→( a; b) của d Khi đó phương trình tổng quát của d là: a(x-x0) + b(y-y0) = 0 * Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) . Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n→ = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là: A. x - 2y + 1 = 0. B. 2x + y = 0 C. x - 2y - 5 = 0 D. x - 2y + 5 = 0 Lời giải Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = (1; -2) làm VTPT =>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 hay x - 2y – 5 = 0 Chọn C. Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ n→(1; 2) làm vectơ pháp tuyến. A. ∆: x + 2y + 5 = 0 B. ∆: x + 2y – 5 = 0 C. ∆: 2x + y + 1 = 0 D. Đáp án khác Lời giải Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n→(1; 2) Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0 Hay x + 2y + 5 = 0 Chọn A. Quảng cáo Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình A. x - 2y - 3 = 0 B. x - 2y + 5 = 0 C. x - 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0 Lời giải Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1) Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3 Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0 Chọn A Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình A. 3x - 4y + 8 = 0 B. 3x – 4y - 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0 Lời giải Ta có BC→ = (-6; 8) Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC ⇒ AA' nhận VTPT n→ = BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2) Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0 Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0. Chọn B Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyến n→( 1; 5) có phương trình tổng quát là: A. d: x + 5y + 2 = 0 B. d: x- 5y + 2 = 0 C. x + 5y + 14 = 0 D. d: x - 5y + 7 = 0 Lời giải Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT n→( 1; 5) ⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d: 1( x - 1) + 5.(y + 3) = 0 hay x + 5y + 14 = 0 Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A A. 7x + 3y – 11 = 0 B. -3x + 7y + 5 = 0 C. 3x + 7y + 2 = 0 D. 7x + 3y + 15 = 0 Lời giải Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A. Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPT BC→( 7; 3) ⇒ Phương trình đường cao AH : 7( x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0 Chọn A. Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và M( -2 ; 1). Lập phương trình đường thẳng BC ? A. x + y - 3 = 0 B. 2x - y + 6 = 0 C. x - y + 3 = 0 D. x + y + 1 = 0 Lời giải + Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao ⇒ AM vuông góc BC. ⇒ Đường thẳng BC nhận AM→( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT + Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPT n→( 1; -1) ⇒ Phương trình đường thẳng BC : 1(x + 2) - 1(y - 1) = 0 hay x - y + 3 = 0 Chọn C. Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ? A. x - 3y + 1 = 0 B. x + 4y - 5 = 0 C. x + 2y - 3 =0 D. 2x - y + 1 = 0 Lời giải + Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :
+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :
Tương tự ta tìm được tọa độ C(- + Đường thẳng AP : ⇒ Phương trình đường thẳng AP : 1(x - 1) + 2(y - 1) = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0 Chọn C. Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là: A. 3x + 5y - 7 = 0 B. 3x + 5y = 0 C. 3x - 5y = 0 D. 3x - 5y + 9 = 0 Lời giải Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 ( c ≠ - 9) Do điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng d nên : 3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0 Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0 Chọn B. Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B(-2; -4). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC? A. 2x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y - 8 = 0 C. 2x + 3y - 6 = 0 D. 2x - 3y + 1 = 0 Lời giải Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC. ⇒ IJ// BC. ⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 1) Mà điểm B thuộc BC nên: 2.(-2) - 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8 ⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0 Chọn B. Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng (a):3x - 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y - 7 = 0 và (c): 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là: A. 24x + 32y - 53 = 0. B. 23x + 32y + 53 = 0 C. 24x - 33y + 12 = 0. D. Đáp án khác Lời giải Giao điểm của (a) và ( b) nếu có là nghiệm hệ phương trình :
Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1) Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3. + 4. + c = 0 ⇔ c= Vậy d: 3x + 4y + = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y - 53 = 0 Chọn A. Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) và nhận vecto n→( -2 ; 1) làm VTPT ? A. 2x + y - 5 = 0 B. - 2x + y + 3 = 0 C. 2x - y - 4 = 0 D. 2x + y - 1 = 0
Đáp án: B Trả lời: Đường thẳng d : ⇒ Phương trình đường thẳng d : - 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0 Hay (d) : -2x + y + 3 = 0. Câu 2: Cho đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 và (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto n→( 2 ; -3) làm VTPT ? A. 2x - 3y + 6 = 0 B. -2x - 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0 D. 2x + 3y - 1 =0
Đáp án: C Trả lời: + Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :
+ Đường thẳng (d) : ⇒ Phương trình đường thẳng d : 2(x - 1) - 3(y - 1) = 0 hay 2x - 3y + 1 = 0. Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B A. 3x - 5y + 1 = 0 B. 3x + 5y - 20 = 0 C. 3x + 5y - 12 = 0 D. 5x - 3y -5 = 0
Đáp án: D Trả lời: Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC. Đường thẳng BH : ⇒ Phương trình đường cao BH : 5(x - 4) – 3(y - 5) = 0 hay 5x - 3y – 5 = 0 Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1) ; B( 4;5) và C( -3; 2). Tìm trực tâm tam giác ABC? A. (
Đáp án: B Trả lời: + Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC. + Đường thẳng CH : ⇒ Phương trình đường cao CH : 2(x + 3) + 6(y - 2) = 0 hay 2x + 6y – 6 = 0 ⇔ (CH) : x+ 3y – 3= 0 + Đường thẳng BK : =>Phương trình đường cao BK : - 5(x - 4) + 3(y - 5)=0 hay -5x + 3y + 5 = 0. + Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ : Vậy trực tâm tam giác ABC là P( ; ) Câu 5: Cho tam giác ABC có A( 2;-1) ; B( 4; 5) và C( -3; 2). Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là: A. 3x - 7y + 11 = 0. B. 7x + 3y - 11 = 0 C. 3x - 7y - 13 = 0. D. 7x + 3y + 13 = 0.
Đáp án: B Trả lời: Gọi AH là đường cao của tam giác. Đường thẳng AH : đi qua A( 2; -1) và nhận BC→ = (-7; -3) = - (7; 3) làm VTPT => Phương trình tổng quát AH: 7(x - 2) + 3(y + 1)= 0 hay 7x + 3y - 11 = 0 Câu 6: Cho đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) và song song với (d) có phương trình: A. 3x - 2y - 7 = 0. B. 2x + 3y - 9 = 0. C. 2x - 3y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0
Đáp án: A Trả lời: Do ∆ song song với d nên có phương trình dạng: 3x - 2y + c = 0 (c ≠ 8) Mà ∆ đi qua M (3;1) nên 3.3 - 2.1 + c = 0 nên c = - 7 Vậy phương trình ∆: 3x - 2y - 7 = 0 Câu 7: Cho tam giác ABC có B(2; -3). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC? A. x + y + 2 = 0 B. x - y - 5 = 0 C. x - y + 6 = 0 D. x - y = 0
Đáp án: B Trả lời: Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC. ⇒ IJ// BC. ⇒ Đường thẳng BC có dạng : x - y + c = 0 ( c ≠ 3) Mà điểm B thuộc BC nên: 2 - (-3) + c = 0 ⇔ c = -5 ⇒ phương trình đường thẳng BC: x - y - 5 = 0 Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A(3 ; 2). Gọi M là trung điểm của BC và M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ? A. 6x - 5y + 13 = 0 B. 5x - 6y + 6 = 0 C. 5x + 6y + 34 = 0 D. 5x + 6y + 1 = 0
Đáp án: C Trả lời: + Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao ⇒ AM vuông góc BC. ⇒ Đường thẳng BC nhận AM→( - 5; -6) = -(5; 6) làm VTPT + Đường thẳng BC : ⇒ Phương trình đường thẳng BC : 5(x + 2) + 6( y + 4) = 0 hay 5x + 6y + 34= 0 Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và song song với trục Ox. A. y + 2 = 0 B. x + 1 = 0 C. x - 1 = 0 D. y - 2 = 0
Đáp án: D Trả lời: Trục Ox có phương trình y= 0 Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 ( c ≠ 0) Vì đường thẳng d đi qua điểm M( -1 ;2) nên 2 + c = 0 ⇔ c= -2 Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y - 2= 0 Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
