- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Giải và biện luận phương trình sau [m và a là những tham số]
LG a
\[[2x + m 4][2mx x + m] = 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
[2x + m 4][2mx x + m] = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \,\,[1]\hfill \cr
[2m - 1]x = - m \,\,[2]\hfill \cr} \right.\]
+ Với\[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\]thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x = \frac{{4 - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{7}{4}\]
\[\left[ 2 \right] \Leftrightarrow 0x = - \frac{1}{2}\left[ {VN} \right]\]
Do đó pt có nghiệm duy nhất \[x= \frac{7}{4}\].
+ Với \[m \ne {1 \over 2}\]phương trình có hai nghiệm: \[x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\].
Vậy,
\[m = \frac{1}{2}\]pt có nghiệm duy nhất \[x= \frac{7}{4}\].
\[m \ne {1 \over 2}\]phương trình có hai nghiệm: \[x_1 = {{4 - m} \over 2};\,\,x_2 = {m \over {1 - 2m}}\].
[hai nghiệm này có thể bằng nhau]
LG b
\[|mx + 2x 1| = | x|\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[|mx + 2x 1| = | x|\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
[m + 1]x = 1 \hfill \cr
[m + 3]x = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,[*]\]
Nếu \[m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 1\left[ {VN} \right]\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]
Nếu \[m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 1\\0x = 1\left[ {VN} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\]
Nếu \[m \ne - 1,m \ne - 3\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{1}{{m + 3}}\end{array} \right.\]
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \[x = {1 \over 2}\]
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \[x = - {1 \over 2}\]
+ Với m -1 và m -3 thì phương trình có hai nghiệm: \[x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\]
LG c
\[[mx + 1]\sqrt {x - 1} = 0\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x 1
Ta có:
\[[mx + 1]\sqrt {x - 1} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx + 1 = 0\\
\sqrt {x - 1} = 0
\end{array} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx = - 1\,\left[ 1 \right]\\
x = 1\left[ {TM} \right]
\end{array} \right.\]
+ Với m = 0 thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow 0x = - 1\left[ {VN} \right]\] nên phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m 0 [1] \[x = - {1 \over m}\]
Kiểm tra điều kiện:
\[\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0\cr& \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \]
Do đó:
+ Với -1 < m < 0 ; \[S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\]
+ Với m =0 hoặc m = -1: \[ s = {1}\]
+ Các trường hợp còn lại: PT vô nghiệm
LG d
\[{{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x 2
Ta có:
\[\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \cr&\Rightarrow 2a - 1 = [a - 2][x - 2] \cr
& \Leftrightarrow [a - 2]x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,[1] \cr} \]
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a 2 thì \[[1] \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\]
Kiểm tra điều kiện:
\[x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2\]
\[\Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\]
Vậy
+ Với a = 2 hoặc \[a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \]
+ Với a 2 và \[a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\]
LG e
\[{{[m + 1]x + m - 2} \over {x + 3}} = m\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x -3
Phương trình đã cho tương đương với:
[m + 1]x+ m 2= m[x + 3] x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \[\Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - {5 \over 2}\]
i] Với \[m \ne - {5 \over 2}\]thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii] Với \[m = - {5 \over 2}\]thì phương trình vô nghiệm
LG f
\[|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\]
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với a 0. Điều kiện: x 1
Ta có:
\[|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,[l] \hfill \cr
2ax = a - 1 \,\,\,[1]\hfill \cr} \right.\]
Nếu \[a = 0\] thì \[0x = - 1\left[ {VN} \right]\] nên pt đã cho vô nghiệm
Nếu \[a > 0\] thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{{2a}}\]
Kiểm tra ĐK: \[\frac{{a - 1}}{{2a}} \ne 1 \Leftrightarrow a - 1 \ne 2a\] \[ \Leftrightarrow - a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne - 1\] [thỏa mãn do \[a > 0\]].
Vậy
+ Với a = 0 ; S = Ø
+ Với \[a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\]