Bài 35 sgk trang 104 hình học 12 nâng cao

LG a

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr
z = 3 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Chứng minh d//d'

- Tính d(d,d')=d(M,d').

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \({M_1}\left( {1; - 1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm \({M_2}\left( {2; - 2;3} \right)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và\(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \);\(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song.

Vậy khoảng cách giữa d và d là khoảng cách từ \(M_1\)(1, -1, 1) d đến đường thẳng d và bằng : \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 1;2} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 6;0} \right)\)

Vậy khoảng cách cần tìm là:

\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2\)

LG b

\(d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr
y = {2 + 3t'} \hfill \cr
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d đi qua \(M'\left( {0;2; - 4} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;3;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {0; - 2; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 4 \ne 0 \)

\(\Rightarrow d\) và d chéo nhau.
Khoảng cách giữa \({d_1}\)và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\)