Bài tập đại 11 hàm số liên tục

Với cách giải các dạng toán về Hàm số liên tục môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Hàm số liên tục lớp 11. Mời các bạn đón xem:

Hàm số liên tục và cách giải bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0∈K.

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và limx→a+f(x)=f(a), limx→b−f(x)=f(b)

3. Các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập R.

- Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó:

- Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

- Hàm số y=fxgx liên tục tại x0 nếu gx0≠0.

Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

2. Các dạng toán

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0 tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.

Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

Nếu f2x0≠L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3

Ta thấy limx→−1fx=f−1

Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x−1x−1khi x≠1m2xkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên 0;+∞

Ta có

f(1) = m2.

limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi x

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1

Tính giới hạn phải: limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0.

Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0)

* Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x+x+2x+1 , khi x>−1 2x+3 , khi x≤−1.

Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Lời giải

Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1

Lời giải

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x<12xkhi x≥1. Xét sự liên tục của hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định và liên tục trên −∞;1 và 1;+∞.

Xét tính liên tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2

Ta thấy limx→1fx=f1 nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục trên R.

Ví dụ 2: Cho hàm số fx=3−9−xx , 0

Lời giải

Với x∈0;9: fx=3−9−xx xác định và liên tục trên 0;9.

Với x∈9;+∞: fx=3x xác định và liên tục trên 9;+∞.

Với x = 9, ta có f9=39=13=limx→9+fx

và limx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13

Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9 nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta có f(0) = m.

limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0

⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.

Vậy m=16 thì hàm số liên tục trên 0;+∞.

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).