Bài tập tính diện tích hình phẳng có đáp án năm 2024
|
Cho hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng \(4\) được chia thành hai phần bởi đường parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh tại \(O\). Gọi \(S\) là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay khi cho phần \(S\) quay quanh trục \(Ox\)
Đáp án: D Phương pháp giải: - Viết phương trình parabol. - Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \). Lời giải chi tiết: Phương trình parabol \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(B\left( {4;4} \right)\) \( \Rightarrow 4 = a{.4^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\) nên \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{4}{x^2}\). Gọi \(\left( H \right)\) là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4\), đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\), đường thẳng \(x = 0\). Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh \(Ox\) là : \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {{4^2} - {{\left( {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {16 - \dfrac{1}{{16}}{x^4}} \right)dx} \) \( = \pi \left. {\left( {16x - \dfrac{{{x^5}}}{{16.5}}} \right)} \right|_0^4 = \pi \left( {16.4 - \dfrac{{{4^5}}}{{16.5}}} \right) = \dfrac{{256\pi }}{5}\) Chọn D Đáp án - Lời giải Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
Tài khoản
Thông tin liên hệ(+84) 096.960.2660
Follow us Với cách giải các dạng toán về Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải - Toán lớp 12
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức S=∫abfxdx (1) Chú ý: Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối: Muốn xét dấu của biểu thức f(x) ta thường có một số cách làm như sau: Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho f(x) với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ f(x) đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn f(x) không đổi dấu. Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó: - Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì fx≥0,∀x∈a;b. - Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành thì fx≤0,∀x∈a;b. Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có: S=∫abfxdx=∫abfxdx Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, tuy nhiên xu hướng ra đề thi THPT Quốc gia sẽ hạn chế CASIO nên cần chú ý cách giải tổng quát và hiểu rõ bản chất! 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là S=∫abfx−gxdx. Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của fx−gx không đổi. Chú ý: - Giả sử phương trình có hai nghiệm c;dc ∫acfx−gxdx=∫acfx−gxdx - Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ta có: S=∫abfx−gxdx=∫abhxdx ta xét dấu bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên phần 1. - Nếu đề bài không cho các đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f(x) = g(x) (hoặc f(x) = 0 trong trường hợp g(x) là trục hoành) để tìm cận của tích phân. 3. Ứng dụng tính diện tích hình tròn và hình Elip Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình: x2+y2=r2r>0. Khi đó hình tròn đó có diện tích là: S=πr2 |
