- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 [giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E]. Kí hiệu\[{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\]là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E.
LG a
Chứng minh rằng\[1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\]là các nghiệm của phương trình\[{z^5} - 1 = 0\]và\[{z_1} + {1 \over {{z_1}}} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\]
Giải chi tiết:
\[{z_1} = \cos {{2\pi } \over 5} + i\sin {{2\pi } \over 5},{z_2} = \cos {{4\pi } \over 5} + i\sin {{4\pi } \over 5}\]
\[{z_3} = \cos {{6\pi } \over 5} + i\sin {{6\pi } \over 5},{z_4} = \cos {{8\pi } \over 5} + i\sin {{8\pi } \over 5}\]
Từ đó theo công thức Moa-vrơ, \[1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\] là nghiệm các phương trình \[{z^5} - 1 = 0\] [đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5].
\[{z_1} + {1 \over {{z_1}}} = {z_1} + {\bar z_1} = 2\cos {{2\pi } \over 5}\]
LG b
Viết\[{z^5} - 1 = \left[ {z - 1} \right]\left[ {{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1} \right]\]rồi đưa phương trình\[{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\]về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ\[{\rm{w}} = z + {1 \over z}\]. Từ đó suy ra\[\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 4}\]
Giải chi tiết:
Với \[z \ne 0,\]
\[{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = {z^2}\left[ {{z^2} + {1 \over {{z^2}}} + z + {1 \over z} + 1} \right]\]
\[ = {z^2}\left[ {{{\left[ {z + {1 \over z}} \right]}^2} + \left[ {z + {1 \over z}} \right] - 1} \right] \]
\[= {z^2}\left[ {{{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1} \right]\], trong đó \[{\rm{w}} = z + {1 \over z}\]
Phương trình \[{{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\] có hai nghiệm là \[{{ - 1 \pm \sqrt 5 } \over 2}\]
Vì \[{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\] là bốn nghiệm của phương trình \[{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0\] tức là nghiệm của phương trình:
\[{\left[ {z + {1 \over z}} \right]^2} + \left[ {z + {1 \over z}} \right] - 1 = 0\] và \[{z_4} = {\bar z_1} = {1 \over {{z_1}}},{z_3} = {\bar z_2} = {1 \over {{z_2}}}\] nên \[{z_1} + {1 \over {{z_1}}},{z_2} + {1 \over {{z_2}}}\] là hai nghiệm phân biệt của phương trình \[{{\rm{w}}^2} + {\rm{w}} - 1 = 0\]
Từ đó suy ra \[2\cos {{2\pi } \over 5} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}\] [còn \[2\cos {{4\pi } \over 5} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\]] để ý rằng \[\cos {{2\pi } \over 5} > 0,\cos {{4\pi } \over 5} < 0\] [h.4.14]