Công thực tính khoảng cách 2 điểm cực trị
|
A. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a \neq 0)$. Bài toán 1: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Khi nào hàm số có hai điểm cực trị. Phương pháp: $y'=3ax^{2}+2bx+c$ Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta>0 $ ($\Delta'>0$) hay Bài toán 2: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị. Phương pháp:
Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$ Giải:  Bài toán 3: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Phương pháp: Cách 1: Gọi $M(x,y)$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c=0$. Hơn nữa, $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(\frac{1}{3}x+\frac{b}{9a})(3ax^{2}+2bx+c)+(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$ $=(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$. Giải: Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=(\frac{2}{3}.3-\frac{2.(-4)^{2}}{9})x+(-5)-\frac{-4.3}{9}=-\frac{11}{9}x-\frac{11}{3}.$ Cách 2: Bài toán 4: Bài toán về đồng biến, nghịch biến. Cách 1: Tính y' Cách 2: Sử dụng máy tính. Ví dụ 1: Hàm số $y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}$ đồng biến trên
Cách 1: $y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}=x-\frac{5}{x-2} \Rightarrow y'=1+\frac{5}{(x-2)^{2}}>0$ với $\forall x \neq 2$. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ (-\infty,2) \cup (2,+\infty)$. Chọn D. Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án. Ta có định lí sau: Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$.
$\Rightarrow $ Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm và gán một giá trị $x_{0}$ nằm trong tập xác định cho trước:
Cụ thể với bài này: Nhấn tổ hợp SHIFT+ tích phân để tính đạo hàm tại một điểm. Loại đáp án D vì TXĐ $D=\mathbb{R} \setminus \left\{2 \right\}$. Nhập thu được kết quả 6>0 nên loại A. Nhập thu được kết quả 1,556>0 nên loại C. Ví dụ 2: Để hàm số $y=x^{3}+3mx^{2}-4mx+4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì
Giải: Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y. Bước 2: Gán giá trị
Cụ thể: - Nhập dữ liệu - Gán giá trị (ấn nút CALC)
+ Gán $m=Y=\frac{3}{4}$ ta có Kết quả <0 nên loại A và C. + Gán $m=Y=-\frac{4}{3}$ Kết quả > 0 nên loại D. Ví dụ 3: Hàm số $y=\frac{m}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}+(m-2)x+\frac{1}{3}$ đồng biến trên $[2,+\infty)$.
Giải: Đồng biến trên $[2,+\infty)$ nên gán $X=2$. Gán $Y=0$, kết quả >0 thì chỉ có B đúng. Bài tập áp dụng Bài 1: Hàm số $y=(m-x)x^{2}-m$ đồng biến trên $(1,2)$ khi
Bài 2: Hàm số $y=x^{3}-3(2m+1)x^{2}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng $(2,+\infty)$ khi
Bài toán 5: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: - Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:
Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ trên đoạn $[-1,1]$ là
Bước 1: MODE 7 Bước 2: Nhập $f(X)=X^{3}-3X^{2}-9X+35$ ấn phím = sau đó nhập Start=-1. End=1. Step= 0.2 Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN Dựa vào bảng trên, ta thấy GTLN của hàm số là 40. Chú ý: Cách làm này vẫn đúng khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số bất kì trên $[a,b]$. - Tìm GTLN, GTNN của hàm số không cho miền xác định của x.
Bài toán 6: Bài toán tương giao Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử. Ví dụ: Tìm m để (C): $y=-2x^{3}+6x^{2}+1$ và $d: y=mx+1$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Giải: Nhận thấy cả 4 đáp án đều có điều kiện $m \neq 0$ nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử. - Đầu tiên ta thử với m=5, ta thấy phương trình có 1 nghiệm thực nên loại B, D. - Thử tiếp với m=0, ta được phương trình có 3 nghiệm thực nên loại C nhận A. |
