Đề bài
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABCD\] có chung đỉnh \[A\]. Chứng minh rằng
a] \[\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow 0 \];
b] Hai tam giác \[BCD\] và \[BCD\] có cùng trọng tâm.
Lời giải chi tiết
a] Ta có
\[\eqalign{ & \,\,\,\,\,\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {DD'} \cr & = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AD} \cr & = [\overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AB'} ] - \overrightarrow {AC'} - [\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ] + \overrightarrow {AC} \cr & = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \cr & = \overrightarrow 0 \cr} \]
b] Với điểm G bất kì, ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC'} + \overrightarrow {GD} \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {GD'} + \overrightarrow {D'D} \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} + [\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {D'D} ] \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} \cr} \]
Suy ra nếu G là trọng tâm tam giác BC'D thì:
\[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC'} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} = \overrightarrow 0 \]
Vậy trọng tâm hai tam giác \[BCD\] và \[BCD\] trùng nhau.