Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC] có AH là đường cao. Vẽ \[HE \bot AB,HF \bot AC[E \in AB,F \in AC]\]
a] Chứng minh rằng AM = EF.
b] Gọi M là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng tứ giác MAFE là hình bình hành.
c] Gọi D là trung điểm cùa HC, I là giao điểm của AH và EF. Chứng minh rằng BI vuông góc với AD.
d] Gọi N là điểm đối xứng của H qua F. Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác AEHF có:
\[\widehat {EAF} = {90^0}\,\,[\Delta ABC\] vuông tại A];
\[\widehat {AEH} = {90^0}\,\,[EH \bot AB\] tại E]
\[\widehat {AFH} = {90^0}\,\,[HF \bot AC\] tại F]
Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật \[ \Rightarrow AH \bot EF\].
b] Ta có \[AF = EH\] [AEHF là hình chữ nhật]
Và \[ME = EH\] [E là trung điểm của MH] \[ \Rightarrow AF = ME\].
Mà AF // ME [AF // EH, \[M \in EH\]] nên AMEF là hình bình hành.
c] Hình chữ nhật AEHF có I là giao điểm của AH và EF [gt]
\[ \Rightarrow \] I là trung điểm của AH.
Mà D là trung điểm của HC
\[ \Rightarrow ID\] là đường trung bình của tam giác AHC \[ \Rightarrow ID//AC\].
Mặt khác \[AC \bot AB\,\,[\Delta ABC\] vuông tại A].
Do đó \[ID \bot AB\].
Xét tam giác ABD có DI là đường cao \[\left[ {DI \bot AB} \right]\], AH là đường cao \[\left[ {AH \bot BD} \right]\]
Và DI và AH cắt nhau tại I [gt].
Do đó I là trực tâm của tam giác ABD
\[ \Rightarrow BI\] là đường cao của tam giác ABD \[ \Rightarrow BI \bot AD\].
d] Xét tam giác MHN có:
E là trung điểm của MH [M đối xứng với H qua E]
F là trung điểm của HN [N đối xứng với H qua F]
\[ \Rightarrow EF\] là đường trung bình của tam giác MHN \[ \Rightarrow EF//MN\].
Mà \[EF//MA\] [MAFE là hình bình hành]
Do đó MN, MA trùng nhau [tiên đề Ơ-clit].
Vậy M, A, N thẳng hàng.