Đề bài - bài 27 trang 67 sgk toán 7 tập 2

Đề bài

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải chi tiết

Ta đưa về bài toán: Cho \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G.\) Biết \(BM=CN\), chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác cân.

Vì\(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G\)

\(\Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

\(\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\).

Mà \(BM = CN\) (giả thiết) nên \(GB = GC.\)

Tam giác \(GBC\) có \(GB = GC\) nên \(GBC\) cân tại \(G\).

\(\Rightarrow \)\(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét \(BCN\) và \(CBM\) có:

+) \(BC\) là cạnh chung

+) \(CN = BM\) (giả thiết)

+) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\)(chứng minh trên)

Suy ra \(BCN =CBM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \) \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (hai góc tương ứng).

\(\Rightarrow ABC\) cân tại \(A\) (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân) (điều phải chứng minh).