Đề bài
Tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm \[H.\] Gọi \[K, M, N\] thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \[AH, BH, CH.\]
Chứng minh rằng tam giác \[KMN\] đồng dạng với tam giác \[ABC\] với tỉ số đồng dạng \[\displaystyle k = {1 \over 2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Tính chất: Đường trung bình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta AHB\] có:
\[K\] là trung điểm của \[AH\] [gt]
\[M\] là trung điểm của \[BH\] [gt]
Do đó \[KM\] là đường trung bình của tam giác \[AHB\].
\[ \Rightarrow \displaystyle KM = {1 \over 2}AB\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \displaystyle {{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\] [1]
Xét \[\Delta AHC\] có:
\[K\] là trung điểm của \[AH\] [gt]
\[N\] là trung điểm của \[CH\] [gt]
Do đó \[KN\] là đường trung bình của tam giác \[AHC\].
\[ \Rightarrow \displaystyleKN = {1 \over 2}AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \displaystyle {{KN} \over {AC}} = {1 \over 2}\] [2]
Xét \[\DeltaBHC\] có:
\[M\] trung điểm của \[BH\] [gt]
\[N\] trung điểm của \[CH\] [gt]
Do đó \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[BHC\].
\[ \Rightarrow \displaystyleMN = {1 \over 2}BC\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \displaystyle {{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[ \displaystyle{{KM} \over {AB}} = {{KN} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\]
Vậy \[ KMN\] đồng dạng \[ ABC\] [c.c.c].
Ta có tỉ số đồng dạng: \[\displaystyle k = {{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\].