Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn [C]: \[{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\]và đường thẳng \[d:x - y + 3 = 0\]. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn [C]và tiếp xúc ngoài vơi đường tròn [C].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình, tham số hóa tọa độ điểm \[M\].
- Lập phương trình dựa vào các điều kiện bài cho, giải phương trình và kết luận nghiệm
Lời giải chi tiết
Đường tròn [C]có tâm I[1 ; 1], bán kính R = 1.
Vì \[M \in d\]nên \[M[x;x + 3]\]. Yêu cầu của bài toán tương đương với \[MI = R + 2R \] \[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {x + 2} \right]^2} = 9\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {x^2} + 4x + 4 = 9\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\].
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[M[1 ; 4]\] và \[M[-2 ; 1]\].