Đề bài
Cho đường cong \[[C]\] có phương trình \[y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\], trong đó \[a \ne 0\], \[c \ne 0\]và điểm \[I\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]thỏa mãn: \[{y_o} = a{x_o} + b\]. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {OI} \]và phương trình của \[[C]\] đối với hệ tọa độ \[IXY\]. Từ đó suy ra rằng \[I\] là tâm đối xứng của đường cong [\[C]\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\] \[\Leftrightarrow y = ax - a{x_0} + a{x_0} + b + \frac{c}{{x - {x_0}}}\]\[ \Leftrightarrow y = a\left[ {x - {x_o}} \right] + {y_o} + {c \over {x - {x_o}}}\]
\[ \Leftrightarrow y - {y_o} = a\left[ {x - {x_o}} \right] + {c \over {x - {x_o}}}\]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
x - {x_o} = X \hfill \cr
y - {y_o} = Y \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = X + {x_o} \hfill \cr
y = Y + {y_o} \hfill \cr} \right.\]
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow {OI} \] với \[I\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\].
Khi đó \[Y = aX + {c \over X}\] là phương trình của \[[C]\] đối với hệ tọa độ \[IXY\].
\[Y = aX + {c \over X}\] là hàm số lẻ nên đồ thị \[[C]\] nhận gốc tọa độ \[I\] làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \[I\left[ {{x_0};a{x_0} + b} \right]\] làm tâm đối xứng.
Cách trình bày khác:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I[xo,yo] là:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + a{x_0} + b\end{array} \right.\]
Phương trình của [C] đối với hệ tọa độ IXY là:
\[Y + a{x_0} + b\]\[ = a\left[ {X + {x_0}} \right] + b + \frac{c}{{X + {x_0} - {x_0}}}\]
\[ \Leftrightarrow Y + a{x_0} + b\] \[ = aX + a{x_0} + b + \frac{c}{X}\]
\[ \Leftrightarrow Y = aX + \frac{c}{X}\]
Do hàm số \[Y = aX + \frac{c}{X}\] là hàm số lẻ nên đồ thị [C] nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \[I\left[ {{x_0};a{x_0} + b} \right]\] làm tâm đối xứng.