Đề bài
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{2}{3}x + 5\]với \[x \in R\]
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên \[R\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định [TXĐ] D của hàm số
- Giả sử\[{x_1} < {x_2}\] với [\[{x_1};{x_2} \in D\]]. Xét hiệu\[f\left[ {{x_2}} \right] - f\left[ {{x_1}} \right].\]
+ Nếu\[f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right] < 0\] hay\[f\left[ {{x_1}} \right] < f\left[ {{x_2}} \right]\] thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu\[f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right] > 0\] hay\[f\left[ {{x_1}} \right] > f\left[ {{x_2}} \right]\] thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{2}{3}x + 5\]
Với hai số \[x_1\] và \[x_2\] thuộc \[\mathbb R\], ta có:
\[{{\rm{y}}_1} = f\left[ {{x_1}} \right] = \dfrac{2}{3}{x_1} + 5\]
\[{{\rm{y}}_2} = f\left[ {{x_2}} \right] = \dfrac{2}{3}{x_2} + 5\]
Nếu \[{x_1} < {x_2}\]thì \[{x_2} - {x_1} > 0\]
Khi đó:
\[f\left[ {{x_2}} \right] - f\left[ {{x_1}} \right]\]
\[= \left[ {\dfrac{2}{3}{x_2} + 5} \right] - \left[ {\dfrac{2}{3}{x_1} + 5} \right]\]\[= \dfrac{2}{3}{x_2} + 5 - {\dfrac{2}{3}{x_1} - 5} \]\[= \dfrac{2}{3}{x_2} - {\dfrac{2}{3}{x_1}} \]\[ = \dfrac{2}{3}\left[ {{x_2} - {x_1}} \right] > 0\]
Suy ra: \[f\left[ {{x_2}} \right] > f\left[ {{x_1}} \right]\]
Vậy hàm số đồng biến trên \[R\].