\[\eqalign{& g'\left[ x \right] = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr& = 2a - 2a\cos 2x + \left[ {\cos x - \cos 3x} \right]\cr &= 2a\left[ {1 - \cos 2x} \right] + \left[ {\cos x - \cos 3x} \right]\cr & = 2a.2{\sin ^2}x + \left[ { - 2\sin 2x\sin \left[ { - x} \right]} \right]\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left[ {a + \cos x} \right]. \cr} \]
Đề bài
Xác địnhađể \[g'\left[ x \right] \ge 0\forall x \in R,\] biết rằng
\[g\left[ x \right] = \sin x - a\sin 2x - {1 \over 3}\sin 3x + 2ax.\]
Lời giải chi tiết
\[\eqalign{
& g'\left[ x \right] = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr
& = 2a - 2a\cos 2x + \left[ {\cos x - \cos 3x} \right]\cr &= 2a\left[ {1 - \cos 2x} \right] + \left[ {\cos x - \cos 3x} \right]\cr & = 2a.2{\sin ^2}x + \left[ { - 2\sin 2x\sin \left[ { - x} \right]} \right]\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left[ {a + \cos x} \right]. \cr} \]
Rõ ràng với a > 1 thì \[a + \cos x > 0\]và \[{\sin ^2}x \ge 0\]với mọi \[x \in R\]nên với a > 1 thì \[g'\left[ x \right] \ge 0,\forall x \in R.\]