Đề bài - bài tập 34 trang 124 tài liệu dạy – học toán 7 tập 2
\( \Rightarrow MF = {1 \over 2}FA \Rightarrow {{MF} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM - FA} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} - 1 = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} = {3 \over 2} \Rightarrow AF = {2 \over 3}AM\) Đề bài Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME. a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN cân. b) Trên tia đối của FD, lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA. c) Chứng minh tam giác DNA vuông d) Kẻ đường cao EB của tam giác AEN. Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng. Lời giải chi tiết a) Xét DEM và FNM Ta có: DM = MF (M là trung điểm của DF) \(\widehat {DME} = \widehat {NMF}\) (đối đỉnh) EM = MN (gt) Do đó: DEM = FNM (c.g.c) => DE = FN Mà DE = DF (DEF cân tại D). Nên FN=DF Do đó DNF cân tại F. b) Ta có \(MF = {1 \over 2}FD\) (M là trung điểm của DF) và FD = FA (gt) \( \Rightarrow MF = {1 \over 2}FA \Rightarrow {{MF} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM - FA} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} - 1 = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} = {3 \over 2} \Rightarrow AF = {2 \over 3}AM\) EAN có AM là đường trung tuyến (EM = MN, \(M \in EN\)) F thuộc đoạn thẳng AM và \(AF = {2 \over 3}AM\) Do đó F là trọng tâm của tam giác NEA. c) Ta có FN = FA (= DF) => FAN cân tại F \( \Rightarrow \widehat {FNA} = \widehat {FAN}\) Mà \(\widehat {FND} = \widehat {FDN}\) (DNF cân tại F). Do đó \(\widehat {DNA} = \widehat {FND} + \widehat {FNA} = \widehat {FAN} + \widehat {FDN}\) DNA có \(\widehat {DNA} + \widehat {FAN} + \widehat {FDN} = 180^\circ\) Do đó \(\widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat {DNA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {DNA} = 90^\circ\) Vậy tam giác DNA vuông tại N. d) Xét DMN và EMF ta có: DM = MF \(\widehat {NMD} = \widehat {EMF}\) (đối đỉnh) MN = EM (gt) Do đó: DMN = FME (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {MEF}\) Mà \(\widehat {DNM}\) và \(\widehat {MEF}\) ở vị trí so le trong. Nên DN // EF Mặt khác \(DN \bot NA\) (DNA vuông tại N). Do đó \(EF \bot NA\) Ta có: \(EF \bot NA\) và \(EB \bot NA\) (EB là đường cao của AEN) Do đó EF trùng với EB. Vậy E, F, B thẳng hàng.
|