Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp[ABC] và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B, C sao cho BB = a, CC = m.
a. Với giá trị nào của m thì ABC là tam giác vuông ?
b. Khi tam giác ABC vuông tại B, kẻ AH BC. Chứng minh rằng BCH là tam giác vuông. Tính góc giữa hai mặt phẳng [ABC] và [ABC].
Lời giải chi tiết
\[\Delta ABC\] vuông tại A nên theo pitago:
\[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\] \[ = {\left[ {2a} \right]^2} - {a^2} = 3{a^2}\]
Tam giác ABB vuông tại B nên theo pitago:
\[AB{'^2} = A{B^2} + BB{'^2}\] \[ = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\]
Tam giác ACC vuông tại C nên theo pitago:
\[AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 3{a^2} + {m^2}\]
Trong [BCCB], kẻ \[B'M \bot CC'\] thì \[B'M = 2a,MC' = m - a\]
Tam giác BMC vuông tại M nên theo pitago:
\[B'C{'^2} = B'{M^2} + MC{'^2}\] \[ = {\left[ {2a} \right]^2} + {\left[ {m - a} \right]^2} = 4{a^2} + {\left[ {m - a} \right]^2}\]
a. Ta có:
+] Tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}
AB{'^2} + AC{'^2} = B'C{'^2}\\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 3{a^2} + {m^2} = 4{a^2} + {\left[ {m - a} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 5{a^2} + {m^2} = 4{a^2} + {m^2} - 2ma + {a^2}\\
\Leftrightarrow 2ma = 0\\
\Leftrightarrow m = 0
\end{array}\]
Vậy tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi m = 0
+] Tam giác ABC vuông ở C khi và chỉ khi :
\[\begin{array}{l}
AC{'^2} + B'C{'^2} = AB{'^2}\\
\Leftrightarrow 3{a^2} + {m^2} + 4{a^2} + {\left[ {m - a} \right]^2} = 2{a^2}\\
\Leftrightarrow 5{a^2} + {m^2} + {\left[ {m - a} \right]^2} = 0
\end{array}\]
Điều này không xảy ra vì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
5{a^2} > 0\\
{m^2} \ge 0\\
{\left[ {m - a} \right]^2} \ge 0
\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow 5{a^2} + {m^2} + {\left[ {m - a} \right]^2} > 0,\forall m\]
Tam giác ABC vuông ở B khi và chỉ khi :
\[\begin{array}{l}
AB{'^2} + B'C{'^2} = AC{'^2}\\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 4{a^2} + {\left[ {m - a} \right]^2} = 3{a^2} + {m^2}\\
\Leftrightarrow 6{a^2} + {m^2} - 2ma + {a^2} - 3{a^2} - {m^2} = 0\\
\Leftrightarrow 4{a^2} - 2ma = 0\\
\Leftrightarrow 2ma = 4{a^2}\\
\Leftrightarrow m = 2a
\end{array}\]
Vậy tam giác ABC vuông ở B khi và chỉ khi m = 2a
b. Giả sử tam giác ABC vuông ở B, tức là m = 2a
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên:
\[BH.BC = A{B^2}\]\[ \Leftrightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{a^2}}}{{2a}} = \frac{a}{2}\]
\[ \Rightarrow HC = BC - BH\] \[ = 2a - \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\]
Tam giác BBH vuông tại B nên:
\[B'{H^2} = B'{B^2} + B{H^2}\] \[ = {a^2} + {\left[ {\frac{a}{2}} \right]^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\]
Tam giác CCH vuông tại C nên:
\[C'{H^2} = C'{C^2} + C{H^2}\] \[ = {\left[ {2a} \right]^2} + {\left[ {\frac{{3a}}{2}} \right]^2} = \frac{{25{a^2}}}{4}\]
\[B'C{'^2} = 4{a^2} + {\left[ {2a - a} \right]^2} = 5{a^2}\]
\[ \Rightarrow B'{H^2} + B'C{'^2}\] \[ = \frac{{5{a^2}}}{4} + 5{a^2} = \frac{{25{a^2}}}{4} = C'{H^2}\]
\[ \Rightarrow \Delta B'C'H\] vuông tại B.
*] Tính góc giữa mp[ABC] và mp[ABC] khi m = 2a.
Gọi I là giao điểm của BC và BC.
Do BB // CC , BB = a, CC = 2a nên BB' là đường trung bình của tam giác ICC'
Do đó BC = BI, BC = BI.
Xét phép chiếu lên mp[ABC]. Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC. Gọi φ là góc giữa mp[ABC] và mp[ABC] thì \[{S_{AIC}} = {S_{AIC'}}\cos \varphi \]
Ta có: \[{S_{AIC}} = 2{S_{ABC}} \]\[= 2.\frac{1}{2}AB.AC = 2.\frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \]
Mặt khác : \[{S_{AIC'}} = {1 \over 2}IC'.AB' \]\[= {1 \over 2}.2a\sqrt 5 .a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt {10} \]
Từ đó : \[\cos \varphi = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}\sqrt {10} }} = {{\sqrt {30} } \over {10}}\]
Vậy góc giữa mp[ABC] và mp[ABC] là φ được tính bởi \[\cos \varphi = {{\sqrt {30} } \over {10}},0^\circ < \varphi < 90^\circ \]
.