Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
LG a
a] \[{x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\];
Phương pháp giải:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc:\[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\], suy ra tâm\[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính bằng \[R\].
Cách 2: Phương trình có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\,\,\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right]\] là phương trình mặt cầu có tâm\[I\left[ {-a;-b;-c} \right]\] và bán kính\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \].
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có phương trình :
\[\begin{array}{l}
\quad {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + {y^2} - 2y + {z^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} = 16\\
\Leftrightarrow {\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {z^2} = 16
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\]
Đây là mặt cầu tâm \[I[4; 1; 0]\] và có bán kính \[r = 4\].
Cách 2: Ta có:
\[\begin{array}{l}
2a = - 8;\;2b = - 2;\;2c = 0;\;d = 1\\
\Rightarrow a = - 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d = 1\\
{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left[ { - 4} \right]^2} + {\left[ { - 1} \right]^2} + 0 - 1 = 16
\end{array}\]
do đó đây là phương trình mặt cầu tâm\[I\left[ {4;1;0} \right]\], bán kính \[R=4\].
LG b
b] \[3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}
\quad 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{y^2} + 8y + 3{z^2} + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + {y^2} + \frac{8}{3}y + {z^2} + 5z - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + \left[ {{y^2} + 2.\frac{4}{3}y + {{\left[ {\frac{4}{3}} \right]}^2}} \right] \\+ \left[ {{z^2} + 2.\frac{5}{2}z + {{\left[ {\frac{5}{2}} \right]}^2}} \right] - 1 - 1 - {\left[ {\frac{4}{3}} \right]^2} - {\left[ {\frac{5}{2}} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + \frac{4}{3}} \right]^2} + {\left[ {z + \frac{5}{2}} \right]^2} - \frac{{361}}{{36}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + \frac{4}{3}} \right]^2} + {\left[ {z + \frac{5}{2}} \right]^2} = {\left[ {\frac{{19}}{6}} \right]^2}
\end{array}\]
Đây là mặt cầu tâm\[J[1; -\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{2}]\]và có bán kính là \[R = \dfrac{19}{6}\].
Cách 2:
Xét phương trình \[3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0}\\
{{\rm{Ta \, có : }}2a = - 1;\;2b = \frac{8}{3};\;2c = 5;\;d = - 1}\\
{ \Rightarrow a = - 1;b = \frac{4}{3};c = \frac{5}{2};d = - 1}\\
{{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{4}{3}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{5}{2}} \right]}^2} + 1 = \frac{{361}}{{36}} = {{\left[ {\frac{{19}}{6}} \right]}^2}}
\end{array}\]
do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \[J\left[ {1; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{2}} \right]\], bán kính \[R = \dfrac{{19}}{6}\].