Bài 31 trang 121 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

LG a

Viết phương trình mặt cầu đi quaA(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trênmp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

GọiIlà tâm mặt cầu. Vì \(I \in mp(Oxy)\) nên I=(x;y;0). Theo giả thiết, ta có \(A{I^2} = B{I^2} = C{I^2}\), suy ra

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I( - 2;1;0). \)

Bán kính của mặt cầu là:

\(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \)

Vậy phương trình mặt cầu là:

\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 26.\)

LG b

Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểmA(3;-1;2), B(1;1;-2)và có tâm thuộc trụcOz.

Lời giải chi tiết:

GọiIlà tâm mặt cầu, \(I \in Oz\) nênI = (0;0;z).

Theo giả thiết \(A{I^2} = B{I^2}\), ta có phương trình

\({( - 3)^2} + {1^2} + {(z - 2)^2} = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {(z + 2)^2}\)

\(\Rightarrow 8z = 8 \Rightarrow z = 1\)

Vậy \(I=(0;0;1)\) và \(AI = \sqrt {11} .\)

Phương trình mặt cầu cần tìm là

\({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 11\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểmA(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu(S)cần tìm có dạng

Ta có : \(\eqalign{ & {(x)^2} + {(y)^2} + {(z)^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \cr & A \in (S) \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - d = 3. \cr & B \in (S) \Leftrightarrow 2a + 4b + 2c - d = 6. \cr & C \in (S) \Leftrightarrow 2a + 2b + 4c - d = 6. \cr & D \in (S) \Leftrightarrow 4a + 4b + 2c - d = 9. \cr} \)

Từ đó ta suy ra \(a = {3 \over 2};b = {3 \over 2};c = {3 \over 2};d = 6.\)

Vậy phương trình mặt cầu là :

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0.\)