- LG a
- LG b
- LG c
Giải các hệ phương trình
LG a
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Giải hệ pt đối xứng loại I:
- Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\]
- Giải hệ pt ẩn S, P.
Chú ý: Với\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\] thì x và y là nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\]
Lời giải chi tiết:
Hệ \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x + y} \right]^2} - 2xy + \left[ {x + y} \right] = 8 \\
xy + \left[ {x + y} \right] = 5
\end{array} \right.\]
Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} - 2[5 - S] + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
i] Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:
\[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
X = 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có nghiệm [1, 2]; [2, 1]
ii] Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:
S2 4P = 36 44 = -8 < 0
Vậy phương trình có hai nghiệm [1, 2]; [2, 1]
LG b
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Đặt x = -x, ta có hệ đối xứng loại I với ẩn [x';y]
Lời giải chi tiết:
Đặt x = -x, ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2 \hfill \cr
- x'y - x' - y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Đặt S = x + y; P = xy, ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S - 2[1 - S] = 2 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S - 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Nếu S =1, P = 0 thì x, y là nghiệm phương trình:
\[{X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x' = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x' = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
- x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
- x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
Ta có nghiệm [0, 1] và [-1, 0]
+] Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 4P < 0
LG c
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} - 3y = 2x \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Giải hệ pt đối xứng loại II:
- Trừ hai phương trình vế với vế cho nhau.
- Tìm mối quan hệ của x, y rồi thay vào 1 trong hai phương trình đầu tìm x,y.
Lời giải chi tiết:
Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
x2 y2 3x + 3y = 2y 2x
[x y][x + y] [x y] = 0
[x y][x + y 1] = 0
x y = 0 hoặc x + y 1 = 0
Vậy hệ đã cho tương ứng với:
\[\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x - y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[I] \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[II] \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[[I]\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2x \hfill \cr
y = x \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x^2-5x = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\]
\[[II] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2[1 - x] \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - x - 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \[[0, 0]; [5, 5]; [-1, 2]; [2, -1]\]