Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM Gọi DE lần lượt là trung điểm của AB và AC
|
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.. Bài 89 trang 111 sgk toán 8 tập 1 – Ôn tập chương I. Tứ giác – Hình học lớp 8 tập 1 Show
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a)Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB. b)Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao? c)Cho BC = 4cm, tính chu vi tứ giác AEBM. d)Tam giác vuông ABC, có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông? Hướng dẫn làm bài:  a)Ta có MB = MC, BD = DA nên MD là đường trung bình của ∆ABC Do đó MD // AC Do AC ⊥ AB nên MD ⊥ AB Ta có AB là đường trung trực của ME (do AB ⊥ ME tại D và DE = DM) nên E đối xứng với M qua AB. b)+Ta có: EM // AC (do MD // AC) EM = AC (cùng bằng 2DM) Quảng cáoNên AEM (là hình bình hành) +Tứ giác AEBM là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình bình hành AEBM lại có AB ⊥ EM nên là hình thoi. c)Ta có BC = 4 cm =>BM = 2 cm. Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM = 4. 2 = 8(cm) d)Cách 1 : Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AB = EM ⇔ AB = AC Vậy nếu ABC vuông có thêm điều kiện AB = AC (tức là tam giác ABC vuông cân tại A) thì AEBM là hình vuông. Cách 2 : Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔AM ⊥ BM ⇔ABC có trung tuyến AM là đường cao ⇔∆ABC cân tại A. Vậy nếu ∆ABC vuông có thêm điều kiện cân tại A thì AEBM là hình vuông.
19/06/2021 251
C. Hình bình hànhĐáp án chính xác
+ Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao.=> AM ⊥ BC => AMC^ = 900Xét tứ giác AMCK có: AI=IC (gt)MI=IK(gt)AC∩MK=I(gt)Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb)Lại có AMC^ = 900 (cmt) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.+ Ta có: AK // MC (do AMCK là hình chữ nhật), M Є BC (gt) => AK // BMMà BM = MC (do AM là trung tuyến), AK = MC (do AMCK là hình chữ nhật) nên AK – BM (tính chất bắc cầu)Xét tứ giác ABMK có: AK=BM (cmt)AK//BM(cmt)Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.Đáp án cần chọn là: CCÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. K là điểm đối xứng với M qua điểm I. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông. Xem đáp án » 19/06/2021 820
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của AB, BC, AC. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để hình chữ nhật AMNP là hình vuông? Xem đáp án » 19/06/2021 648
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D. Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Tứ giác ADME là hình gì? Xem đáp án » 19/06/2021 540
Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì? Xem đáp án » 19/06/2021 463
Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì? Xem đáp án » 19/06/2021 432
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để hình bình hành EFGH là hình vuông. Xem đáp án » 19/06/2021 349
Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi. Xem đáp án » 19/06/2021 259
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D. Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Tìm vị trí điểm M để tứ giác ADME là hình vuông. Xem đáp án » 19/06/2021 222
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = 9 cm. Tính chu vi của tứ giác EFGH. Xem đáp án » 19/06/2021 177
Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là: Xem đáp án » 19/06/2021 158
Cho hình vuông có chu vi 20 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là: Xem đáp án » 19/06/2021 121
Cho hình vuông có chu vi 32 cm. Độ dài cạnh hình vuông là Xem đáp án » 19/06/2021 98
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Xem đáp án » 19/06/2021 90
Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là Xem đáp án » 19/06/2021 79
Trong bài viết này VnDoc đã tổng hợp lại kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, mời các em học sinh cùng tham khảo. Trong chương trình Toán 7 môn Hình học học kì 2 có chuyên đề Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức về nội dung này, VnDoc giới thiệu tới các em khái quát lý thuyết và một số bài tập vận dụng có đáp án, cũng như bài tập cho các em tự luyện để ôn tập và củng cố kiến thức được học trên lớp cũng như trong SGK Toán 7 tập 2. Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 7, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 7 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 7. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn. Cách tính độ dài đường trung tuyến
Định nghĩa đường trung tuyến- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến. Đường trung tuyến của tam giácTheo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.Ví dụ: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức: Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau. - Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác. Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Ví dụ: Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A. Các bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM. a) Chứng minh: AM ⊥ BC; b) Tính độ dài AM. Hướng dẫn giải a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao Vậy AM vuông góc với BC b. Ta có BC = 16cm nên BM = MC = 8cm AB = AC = 17cm Xét tam giác AMC vuông tại M Áp dụng định lý Pitago ta có: AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172 - 82 = 225 ⇒ AM = 15cm Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC. Hướng dẫn giải Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4) Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh : a) M là trung điểm của CD b) AM = Hướng dẫn giải a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD Mặt khác Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD M là giao của BE và CD Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD Vậy M là trung điểm của CD b. A là trung điểm của BD M là trung điểm của DC Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC Suy ra AM = 1/2 BC Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh: a) O là trọng tâm của tam giác GKC ; b) GO = Học sinh tự giải Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác. Hướng dẫn giải Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có: BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có: EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có: BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là: AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm) Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A. Học sinh tự giải Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh Hướng dẫn giải Học sinh tự vẽ hình. Xét tam giác BGC có: BG + CG > BC ⇒ ⇒ BD + CE > Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H. a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC. b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy. Hướng dẫn giải
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC CE là đường trung tuyến của tam giác ABC Vậy G là trọng tâm tam giác ABC Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có: AB = AC (tam giác ABC cân tại A) AH chung HB = HC ⇒ ΔAHB = ΔAHC (c - c - c) b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1) Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2) DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau b. KB = KC c. BC < 4KM Hướng dẫn giải a. Ta có: AB = AC (gt) BM là đường trung tuyến của tam giác ABC CN là đường trung tuyến của tam giác ABC ⇒ BN = CM Xét ΔBCN vàΔCBM có: BC là cạnh chung BN = CM ⇒ ΔBNC = ΔCMB (c - g - c) b. Ta có: Nên tam giác KBC cân tại A Suy ra KB = KC c. Xét ΔABCcó: NA = NB (CN là đường trung tuyến) MA = MC (MB là đường trung tuyến) Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC Xét tam giác NKM có: NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác) NK = CN – CK ⇒ BC/2 < CN - CK + KM(1) ΔBNC = ΔCMB ⇒ CN = BM (2) Tam giác KBC cân tai K ⇒ CK = BK (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ BC/2 < BM - BK + KM ⇒ BC/2 < 2KM ⇒ BC < 4KM (Còn tiếp) Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ! ---------------------------------------------------- Trên đây, VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và các em học sinh tài liệu Công thức tính độ dài đường trung tuyến. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán 7 khác như: Giải bài tập Toán lớp 7, Giải Vở BT Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 2 lớp 7... cũng được cập nhật liên tục trên VnDoc.com. Một số tài liệu tham khảo liên quan đến bài học:
|
