Công thức tính chiều dài quỹ đạo của electron
I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động1) Cơ học, động học+ Cơ học: ngành vật lý nghiện cứu về chuyển động của các vật thể. Show
+ Động học: ngành vật lý nghiên cứu các tính chất, quy luật chuyển động mà không tính tới nguyên nhân của chuyển động đó. 2) Chuyển động, chất điểm+ Chuyển động cơ học (chuyển động): là sự thay đổi vị trí của các vật thể. + Chất điểm: là vật thể có kích thước không đáng kể so với những kích thước, khoảng cách mà ta xét. Lưu ý: Khái niệm chuyển động, chất điểm có tính tương đối. 3) Quỹ đạo, quãng đường và độ dời+ Quỹ đạo: là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình chuyển động. + Quãng đường: là độ dài của vết mà chất điểm vạch ra trong thời gian khảo sát chuyển động. + Độ dời: là vectơ nối từ vị trí đầu đến vị trí cuối. 4) Hệ quy chiếuLà hệ thống gồm một vật mốc, hệ tọa độ gắn với vật mốc đó và đồng hồ đo thời gian, dùng để xác định vị trí của các vật khác. Hệ tọa độ Descartes Oxyz \( \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \) 5) Phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo+ Phương trình chuyển động: \( \left\{ \begin{align}& x=f(t) \\ & y=g(t) \\ & z=h(t) \\ \end{align} \right. \) (cho biết vị trí ở thời gian t) + Khử t, ta được phương trình quỹ đạo: \( \left\{ \begin{align}& F(x,y,z)=0 \\ & G(x,y,z)=0 \\\end{align} \right. \) (cho biết hình dạng quỹ đạo) II. Tốc độ và vận tốc1) Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình+ Tốc độ trung bình: \( {{v}_{s}}={{v}_{tb}}=\bar{v}=\frac{s}{t} \) + Vận tốc trung bình: \( {{\vec{v}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}}}{t-{{t}_{0}}} \) 2) Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời+ Tốc độ tức thời: \( {{v}_{s}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s}{t}=\frac{ds}{dt}=s \) +Vận tốc tức thời: \( \vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left( {\vec{r}} \right) \) Đặc điểm tức thời và vận tốc tức thời: Phương: tiếp tuyến với quỹ đạo Chiều: theo chiều chuyển động Độ lớn: đạo hàm của quãng đường \( v=\left| {\vec{v}} \right|={{v}_{s}}=s \) Điểm đặt: tại điểm khảo sát 3) Ý nghĩa của tốc độ và vận tốc+ Tốc độ là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho tính nhanh, chậm chuyển động. + Vận tốc là đại lượng vectơ. Vận tốc tức thời đặc trưng cho phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động. + Độ lớn của vận tốc tức thời chính là tốc độ tức thời 4) Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc+ Trong hệ tọa độ Descartes: \( \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \) Trong đó: \( \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=x \\ & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y \\ & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=z \\\end{align} \right. \) + Do đó: \( v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} \) 5) Tính quãng đườngTổng quát: \( S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vdx} \) với \( v=\left| {\vec{v}} \right| \) Nếu v = const thì \( s=v\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=v.t \). 6) Các ví dụVí dụ 1. Trong mặt phẳng (Oxy), chất điểm chuyển động với phương trình: \( \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin 2\pi t \\ & y=4+10\sin 2\pi t \\ \end{align} \right.\begin{matrix}{} & (SI)\\\end{matrix} a)Xác định vị trí của chất điểm lúc t = 5s. b)Xác định quỹ đạo. c)Xác định vectơ vận tốc lúc t = 5s. d)Tính quãng đường vật đi từ lúc t = 0 đến t = 5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường này. Hướng dẫn giải a) Lúc t = 5s, chất điểm ở tọa độ: \( \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin \left( 2\pi .5 \right)=5 \\& y=4+10\sin \left( 2\pi .5 \right)=4 \\\end{align}\right. \) b) Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo là đường thẳng: \( x+y=9 \) c) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=x=-20\pi \cos \left( 2\pi t \right) \\& {{v}_{y}}=y=20\pi \cos \left( 2\pi t \right) \\\end{align} \right.\text{ }\left( SI \right) \) \( \Rightarrow v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{\left[ -20\pi \cos \left( 2\pi t \right) \right]}^{2}}+{{\left[ 20\pi \cos \left( 2\pi t \right) \right]}^{2}}}=20\pi \sqrt{2}\left| \cos \left( 2\pi t \right) \right| \) Lúc t = 5s, thì: \( v=20\pi \sqrt{2}\left| \cos \left( 2\pi .5 \right) \right|=20\pi \sqrt{2}\text{ }m/s \) d) Quãng đường: \( s=\int\limits_{0}^{5}{vdt}=\int\limits_{0}^{5}{20\pi \sqrt{2}\left| \cos \left( 2\pi t \right) \right|dt}\approx 283\text{ }m \) Suy ra, tốc độ trung bình: \( \bar{v}=\frac{s}{t}=\frac{283}{5}=56,6\text{ }m/s \) Ví dụ 2. Xác định phương trình quỹ đạo, biết phương trình chuyển động của chất điểm có dạng: a) \( \left\{ \begin{align}& x=1-t \\& y=t-1 \\\end{align} \right. \) b) \( \left\{ \begin{align}& x=A\left( 1-\sin t \right) \\& y=A\left( 1-\cos t \right) \\\end{align} \right. \) c) \( \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \) Trong đó A và R là các hằng số dương. Hướng dẫn giải a) Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo có dạng là đường thẳng: \( x+y=0 \) b) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}=1-\sin t \\ & \frac{y}{A}=1-\cos t \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}-1=-\sin t \\& \frac{y}{A}-1=-\cos t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{A}-1 \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& {{\left( \frac{y}{A}-1 \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow {{\left( \frac{x}{A}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{A}-1 \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t=1 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{x-A}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y-A}{A} \right)}^{2}}=1 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-A \right)}^{2}}+{{\left( y-A \right)}^{2}}={{A}^{2}} \) Quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm (A; A) và có bán kính A. c) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-A=R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( x-A \right)}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t \\& {{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow {{\left( x-A \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t+{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t={{R}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\omega t+{{\sin }^{2}}\omega t \right) \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-A \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm (A;0) và có bán kính R. Ví dụ 3. Phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ trục tọa độ Descartes: \( x={{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)\text{ } \) \( y={{a}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\text{ } \) Xác định đạng quỹ đạo của chất điểm trong các trường hợp sau: a) \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=2k\pi \) b) \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left( 2k+1 \right)\pi \) c) \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2} \) d) \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \)có giá trị bất kì Hướng dẫn giải a) Ta có: \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=k2\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+k2\pi \) \( \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+k2\pi \right)={{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\frac{y}{{{a}_{2}}}\Leftrightarrow y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \) Vì \( -1\le \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)\le 1 \) nên \( -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \) Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi: \( y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \) với \( -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \) b) Ta có: \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left( 2k+1 \right)\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left( 2k+1 \right)\pi \) \( \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left( 2k+1 \right)\pi \right)=-{{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=-\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}+\frac{y}{{{a}_{2}}}=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \) với \( -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \) Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi: \( y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \) với \( -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \). c) Ta có: \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2} \) \( \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2} \right)=\pm {{a}_{1}}\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\pm \sin \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow {{\left( \frac{x}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)+{{\sin }^{2}}\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \) với \( -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}=1 \) Vậy chất điểm chuyển động trên một đường elip có dạng: \( {{\left( \frac{x}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}=1 \). d) Ta có: \( x={{a}_{1}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\text{ }(1) \) \( y={{a}_{2}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Rightarrow \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\text{ }(2) \) Nhân (1) với \( \cos {{\varphi }_{2}} \) và (2) với \( -\cos {{\varphi }_{1}} \)rồi cộng vế với vế: \( (1)\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right)\begin{matrix}{} & (3) \\\end{matrix} \) \( (2)\Rightarrow -\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=-\cos {{\varphi }_{1}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right)\begin{matrix}{} & (4) \\\end{matrix} \) \( (3)+(4)\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right)-\cos {{\varphi }_{1}}\left( \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right) \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\cos {{\varphi }_{2}} \) \( \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin \left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\begin{matrix}{} & (5) \\\end{matrix} \) Lại nhân (1) với \( \sin {{\varphi }_{2}} \) và (2) với \( -\sin {{\varphi }_{1}} \) rồi cộng vế với vế: \( \frac{x}{{{a}_{1}}}\sin {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\sin {{\varphi }_{1}}=\cos \omega t.\sin \left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\begin{matrix} {} & (6) \\\end{matrix} \) Bình phương (5) và (6) rồi cộng vế với vế: \( \frac{{{x}^{2}}}{a_{1}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{a_{2}^{2}}-\frac{2xy}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\cos \left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)={{\sin }^{2}}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\begin{matrix}{} & (7) \\\end{matrix} \) Phương trình (7) biểu diễn một đường elip. Nhận xét: Có thể thu được các kết luận của phần a), b), c) bằng cách thay \( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \) bằng các giá trị tương ứng đã cho vào (7). Ví dụ 4.Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đây: a) \( \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \) b) \( \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \) c) \( \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \) d) \( \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \) Hướng dẫn giải a) \( \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \) Ta có: \( x=-t\Rightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}=-2{{t}^{2}} \) \( \Rightarrow -2{{x}^{2}}+y+z=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}} \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol: \( y=2{{x}^{2}} \) b) \( \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \) Tac có: \( \cos 2t=2{{\cos }^{2}}t-1=2{{x}^{2}}-1\Rightarrow -2\cos 2t=-2{{x}^{2}}+1 \) \( -2{{x}^{2}}+1+y=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}}-1 \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol: \( y=2{{x}^{2}}-1 \) c) \( \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t \\& {{z}^{2}}=4{{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4\left( {{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t \right)=4 \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn: \( {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \) d) \( \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \) Ta có: \( y.z=3{{e}^{-2t}}.4{{e}^{2t}}=12 \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một hyperbol: \( y.z=12 \) Ví dụ 5.Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đây: a) \( \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \) b) \( \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \) c) \( \left\{ \begin{align}& x=\cos \omega t \\& y=b\cos \left( \omega t+\varphi \right) \\& z=-2 \\\end{align} \right. \) Hướng dẫn giải a) \( \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \) Ta có: \( 2x=-2\sin 2t\Rightarrow 2x+z-1=0\Rightarrow z=-2x+1 \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường thẳng: \( z=-2x+1 \) b) \( \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{y}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& \frac{{{z}^{2}}}{4}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \) Vậy quỹ đạo của chất điểm là một elip: \( \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \) c) \( \left\{ \begin{align}& x=a\cos \omega t \\& y=b\cos \left( \omega t+\varphi \right) \\& z=-2 \\\end{align} \right. \) Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\cos \left( \omega t+\varphi \right)=\cos \omega t.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\frac{x}{a}.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b}-\frac{x}{a}.\cos \varphi =-\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi =-\sin \omega t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& {{\left( \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right)}^{2}}=1 \) \( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{2xy}{ab}\cos \varphi ={{\sin }^{2}}\varphi \) Vậy có thể thu được kết quả là elip, đường thẳng, vòng tròn tùy theo trị số của \( a,b,\varphi \). III. Gia tốc1) Định nghĩa:Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc, đo bằng độ biến thiên của vận tốc trong một đơn vị thời gian. + Gia tốc trung bình: \( {{\vec{a}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}-{{{\vec{v}}}_{O}}}{t-{{t}_{O}}} \) + Gia tốc tức thời: \( \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left( {\vec{v}} \right) \) + Ý nghĩa gia tốc: Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm của vectơ vận tốc. \( \vec{r} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}} \vec{v} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}}\vec{a} \) 2) Biểu thức giải tích của vectơ gia tốcTrong hệ tọa độ Descartes, ta có: \( \vec{a}={{a}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{a}_{y}}.\overrightarrow{j}+{{a}_{z}}.\overrightarrow{k}=\left( {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right) \) Với \( \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=x \\& {{a}_{y}}=\frac{d{{v}_{y}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=y \\& {{a}_{z}}=\frac{d{{v}_{z}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}z}{d{{t}^{2}}}=z \\\end{align} \right. \) Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc: \( a=\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \). 3) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến+ Trong chuyển động cong, vectơ gia tốc \( \vec{a} \) được phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau: thành [hần tiếp tuyến \( {{\vec{a}}_{t}} \) và thành phần pháp tuyến \( {{\vec{a}}_{n}} \). + Do đó: \( \vec{a}={{\vec{a}}_{t}}+{{\vec{a}}_{n}} \), trong đó: \( \left\{ \begin{align}& {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt} \\& {{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R} \\\end{align} \right. \), với R là bán kính chính khúc của quỹ đạo Và có độ lớn: \( a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} \). Ý nghĩa:
Trường hợp đặc biệt:
4) Các ví dụVí dụ 1.Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình: \( \left\{ \begin{align}& x=3{{t}^{2}}-\frac{4}{3}{{t}^{2}} \\& y=8t \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & (SI) \\\end{matrix} \) a) Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = 3s. b) Có thời điểm nào gia tốc triệt hay không? Hướng dẫn giải Ta có \( \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=x=6-8t \\& {{a}_{y}}=y=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\left| 6-8t \right| \) a) Lúc t = 3s thì: \( \vec{a}=\left( -18;0 \right) \) và độ lớn \( a=18\text{ }m/{{s}^{2}} \). b) Để gia tốc triệt tiêu thì \( a=0\Leftrightarrow 6-8t=0\Leftrightarrow t=0,75\text{ }s \). Vậy lúc t = 0,75 s thì gia tốc bằng không. Ví dụ 2.Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình: \( \left\{ \begin{align}& x=10+50t \\& y=40t-5{{t}^{2}} \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & (SI) \\\end{matrix} \) a) Nhận dạng quỹ đạo. b) Xác định tung độ lớn nhất mà vật đạt được. c) Xác định các thành phần và độ lớn của vectơ vectơ, gia tốc tại thời điểm t = 2s. Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc đó. Hướng dẫn giải a) Ta có: \( x=10+50t\Rightarrow t=\frac{x-10}{50} \), với \( x\ge 10\text{ }m \). \( \Rightarrow y=\frac{4}{5}\left( x-10 \right)-5{{\left( \frac{x-10}{50} \right)}^{2}}=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }(m) \) Vậy quỹ đạo là Parabol: \( y=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }(m) \), với \( x\ge 10\text{ }m \). b) Tung độ lớn nhất \( {{y}_{\max }}\Leftrightarrow {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y=40-10t=0 \) \( \Leftrightarrow t=4\text{ }s\Rightarrow {{y}_{\max }}=40.4-{{5.4}^{2}}=80\text{ }m \) c) + Các thành phần của vectơ vận tốc lúc t = 2 s: \( {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=50\text{ }m/s \) \( {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=40-10t=40-10.2=20\text{ }m/s \) Độ lớn của vectơ vận tốc: \( v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{50}^{2}}+{{20}^{2}}}=10\sqrt{29}\text{ }m/s \) + Các thành của vectơ gia tốc lúc t = 2 s: \( {{a}_{x}}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=0\text{ }m/{{s}^{2}} \) \( {{a}_{y}}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-10\text{ }m/{{s}^{2}} \) Độ lớn của vectơ gia tốc: \( a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\sqrt{{{0}^{2}}+{{\left( -10 \right)}^{2}}}=10\text{ }m/{{s}^{2}} \) + Gia tốc tiếp tuyến lúc t = 2 s: \( {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right)={{\left( \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right)}^{/}} \) \( ={{\left( \sqrt{{{50}^{2}}+{{\left( 40-10t \right)}^{2}}} \right)}^{/}}=\frac{-10\left( 40-10t \right)}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left( 40-10t \right)}^{2}}}} \) \( =\frac{-10\left( 40-10.2 \right)}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left( 40-10.2 \right)}^{2}}}}=\frac{-20\sqrt{29}}{29}\approx -3,7\text{ }m/{{s}^{2}} \) (Dấu trừ - chứng tỏ lúc t = 2s, vật chuyển động chậm dần) + Gia tốc pháp tuyến lúc t = 2 s: \( {{a}_{n}}=\sqrt{{{a}^{2}}-a_{t}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-3,{{7}^{2}}}=9,3\text{ }m/{{s}^{2}} \) + Bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc t = 2 s: \( R=\frac{{{v}^{2}}}{{{a}_{n}}}=\frac{53,{{8}^{2}}}{9,3}=311\text{ }m \) Ví dụ Hướng dẫn giải |
