Đề bài - bài 29 trang 9 sbt toán 9 tập 1

\(\eqalign{& \sqrt {2003.2005} \cr& = \sqrt {(2004 - 1)(2004 + 1)} \cr& = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \)

Đề bài

So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):

\(\sqrt {2003} + \sqrt {2005} \) và \(2\sqrt {2004} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất: Với \(a > 0,b > 0\) và \({a^2} < {b^2}\)thì\(a < b\)

Để chứng minh\(a < b\) ( với\(a > 0,b > 0\)) ta chứng minh\({a^2} < {b^2}\).

Chú ý:\({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\)( với\(A > 0\)).

Áp dụng hằng đẳng thức:

\(\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = {a^2} - 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} = 4.2004 \cr
& = 4008 + 2.2004 \cr} \)

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2} \cr
& = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \)

\( = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)

So sánh \(2004\) và \(\sqrt {2003.2005} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {2003.2005} \cr
& = \sqrt {(2004 - 1)(2004 + 1)} \cr
& = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr
& \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \)

\( \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)

\( \Rightarrow {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2}\)

Vậy \(2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} \).

Bài Viết Liên Quan