Đề bài
Cho hình thang \[ABCD\] với các cạnh đáy là \[AB\] và \[CD\] [các cạnh bên không song song]. Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm \[M\] nằm giữa hai điểm hai điểm \[A, D\] thì có một điểm \[N\] nằm trên cạnh \[BC\] sao cho \[AN//MC\] và \[DN//MB.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường thẳng \[AD\] và \[BC\].
Đặt \[\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \,\,;\,\,\,\overrightarrow {OD} = k\overrightarrow a \], khi đó \[\overrightarrow {OC} = k\overrightarrow b \] [vì \[AB//CD\]]. Giả sử \[\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow a \]. Ta xác định điểm \[N\] trên \[BC\] sao cho \[AN//CM\]. Ta chứng minh rằng \[DN//BM\].
Vì \[N\] nằm trên \[BC\] nên \[\overrightarrow {ON} = n\overrightarrow b \]. Khi đó
\[\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow b - \overrightarrow a \]
Mặt khác \[\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} = m\overrightarrow a - k\overrightarrow b \].
Vì \[AN//CM\] nên hai vec tơ \[\overrightarrow {AN} \,,\,\,\overrightarrow {CM} \] cùng phương, tức là\[\dfrac{n}{{ - k}} = \dfrac{{ - 1}}{m}\] hay \[n = \dfrac{k}{m}\].
Vậy \[\overrightarrow {ON} = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b \]. Từ đó \[\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OD} = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b - k\overrightarrow a \].
Lại có\[\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB}\]
\[ = m\overrightarrow a - \overrightarrow b\]
\[ = - \dfrac{m}{k}\left[ {\dfrac{k}{m}\overrightarrow b - k\overrightarrow a } \right]\]
\[= - \dfrac{m}{k}\overrightarrow {DN} \]
Vậy \[\overrightarrow {BM} \,,\,\,\overrightarrow {DN} \] cùng phương hay \[BM//DN.\]