Đề bài
Cho tam giác đều \[ACB\] và \[ACD,\] cạnh \[a.\] Lần lượt lấy \[B\] và \[D\] làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính \[a.\] Kẻ các đường kính \[ABE\] và \[ADF.\] Trên cung nhỏ \[CE\] của đường tròn tâm \[B\] lấy điểm \[M\] [không trùng với \[E\] và \[C\]]. Đường thẳng \[CM\] cắt đường tròn tâm \[D\] tại điểm thứ hai là \[N.\] Hai đường thẳng \[EM\] và \[NF\] cắt nhau tại điểm \[T.\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[AT\] và \[MN.\] Chứng minh:
\[a]\] \[MNT\] là tam giác đều.
\[b]\] \[AT = 4AH.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.
+] Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong đường tròn \[[B]\] ta có:
\[\widehat {AMC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC}\] [hệ quả góc nội tiếp] mà \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] [vì \[ABC\] đều]
\[ \Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ \]
\[\widehat {AME} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[[B]\]]
\[ \Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ \]
\[\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC}\]\[ = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Trong đường tròn \[[D]\] ta có:
\[\widehat {ANC} =\displaystyle{1 \over 2}\widehat {ADC}\] [Hệ quả góc nội tiếp] mà \[\widehat {ADC} = 60^\circ \] [vì \[ADC\] đều] \[ \Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ \]
\[\widehat {ANF} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[[D]\]]
\[ \Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ\]
\[ \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ - \widehat {ANC}\]\[ = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] hay \[\widehat {MNT} = 60^\circ \]
Vậy \[TMN\] đều.
\[b]\] \[\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ \] [theo câu a]
\[ \Rightarrow \Delta AMN\] cân tại \[A\] \[ \Rightarrow AM = AN\] nên \[A\] nằm trên đường trung trực \[MN\]
Vì \[TMN\] đều \[ \Rightarrow TM = TN\] nên \[T\] nằm trên đường trung trực \[MN\]
Suy ra \[AT\] là đường trung trực của \[MN\] nên \[AT MN\]
\[AHM\] có \[\widehat {AHM} = 90^\circ \]
\[AM =\displaystyle{{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }}\]\[ =\displaystyle {{AH} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AH\] \[ [1]\]
Vì\[TMN\] đều có\[TH MN\] nên \[TH\] cũng là đường phân giác của \[\widehat T\] nên \[\widehat {MTA} = 30^\circ \]
\[AMT\] có \[\widehat {AMT} = 90^\circ \]
\[AT = \displaystyle{{AM} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {\displaystyle{AM} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AM\]\[\; [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[AT =2AM=2.2AH= 4AH\]
Vậy \[AT=4AH.\]