Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A, B, D; C, B, D tới đường chéo ACbằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Lời giải chi tiết
Điểm Acách đều ba đỉnh của tam giác đều ABD vì ta có \[AB = A{\rm{D}} = AA' = a\], điểm Ccũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều đó vì ta có:
\[C'B = C'D = C'A' = a\sqrt 2 \]
Vậy AClà trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, tức là đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng [ABD] tại trọng tâm Icủa tam giác ABD. Ta cần tìm khoảng cách AI.
Ta có \[A'I = BI = DI = {2 \over 3}A'O\]với Olà tâm của hình vuông ABCD
Ta lại có \[AO' = B{\rm{D}}{{\sqrt 3 } \over 2}\]
\[ = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\]
Vậy \[A'I = {2 \over 3}A'O = {2 \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\]
Tương tự điểm Ccách đều ba đỉnh của tam giác đều CBD, tính được khoảng cách từ C, B, D tới đường chéo AC.