Đề bài
Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác [h.\[120\]]. Chứng minh sáu tam giác: \[1, 2, 3, 4, 5, 6\] có diện tích bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
$$S = {1 \over 2}ah$$
Lời giải chi tiết
Trước hết ta sẽ chứng minh\[{S_3} = \dfrac{1}{6}{S_{ABC}}\].
Ta có\[{S_3} = \dfrac{1}{2}{S_{BOC}}\] [1] [ vì \[BM = \dfrac{1}{2}BC\], chung chiều cao kẻ từ \[O\] đến \[BC\]].
\[{S_{BOC}} = \dfrac{2}{3}{S_{BNC}}\] [2] [vì\[BO = \dfrac{2}{3}BN\], chung chiều cao kẻ từ \[C\] đến \[BN\]].
\[{S_{BNC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\] [3] [vì \[NC = \dfrac{1}{2}AC\], chung chiều cao kẻ từ \[B\] đến \[AC\]].
Từ [1], [2], [3] suy ra\[{S_3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}{S_{ABC}}\]
Chứng minh tương tự, mỗi diện tích\[{S_1} ,\, {S_2} ,\, {S_4},\, {S_5},\, {S_6}\] cũng bằng \[\dfrac{1}{6}{S_{ABC}}\].
Vậy\[{S_1} = {S_2} = {S_3} = {S_4} = {S_5} = {S_6}\].