Đề bài
Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: \[f\left[ x \right] = - {x^2} + 3x + 6\]; \[g\left[ x \right] = {x^3} - {x^2} + 4\]và \[h\left[ x \right] = {x^2} + 7x + 8\]tiếp xúc với nhau tại điểm \[A[-1;2]\] [tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại \[A\]].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[f\left[ { - 1} \right] = g\left[ { - 1} \right] = h\left[ { - 1} \right] = 2\]
Do đó điểm \[A[-1;2]\] là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có:
\[\eqalign{
& f'\left[ x \right] = - 2x + 3;\,g'\left[ x \right] = 3{x^2} - 2x;\cr&h'\left[ x \right] = 2x + 7 \cr
& f'\left[ { - 1} \right]=-2.[-1]+3=5 \cr& g'\left[ { - 1} \right] =3.[-1]^2-2.[-1]=5\cr& h'\left[ { - 1} \right] = 2.[-1]+7=5 \cr} \]
Do đó ba đường cong cùng đi qua A và có hệ số góc của tiếp tuyến tại A bằng nhau.
Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm \[A\] nên chúng tiếp xúc tại A.