Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
LG a
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[[C]\] của hàm số \[f[x] =- {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2.\]
Phương pháp giải:
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm \[y\]
+ Tại các điểm đó đạo hàm \[y\] bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm \[y\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận [nếu có]
- Lập bảng biến thiên [Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên]
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \[T\] thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \[Ox\]
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
Ta có:\[ y' = - 3{x^2} + 6x + 9.\]
\[ \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right..
\end{array}\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[[-1;3]\], nghịch biến trên khoảng \[[-\infty; -1]\] và \[[3;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=3\]; \[y_{CĐ}=29\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\]; \[y_{CT}=-3\]
- Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = + \infty\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = - \infty \]
-Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;2]\]
Đồ thị hàm số nhận \[I[1;13]\] làm tâm đối xứng.
LG b
b] Giải bất phương trình \[f[x-1]>0.\]
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \[y=f'[x].\] Thay \[x-1\] vào vị trí của \[x\] để tính \[f'[x-1]\] và giải bất phương trình\[f'[x-1]>0.\]
Lời giải chi tiết:
\[y=f[x] =- {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\]
\[f[x] = - 3{x^2} + 6x + 9\].
\[ \Rightarrow f[x-1]=-3[x-1]^2+6[x-1]+9\]
\[ = - 3\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + 6x - 6 + 9 \] \[= - 3{x^2} + 6x - 3 + 6x + 3\]
= \[-3x^2+ 12x \]
\[ \Rightarrow f'[x-1]> 0 \]\[ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4\]
LG c
c] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[[C]\] tại điểm có hoành độ \[x_0,\] biết rằng \[f[x_0] = -6.\]
Phương pháp giải:
Giải phương trình \[f''[x_0]=-6\] để tìm \[x_0.\] Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[[C]\] theo công thức: \[y=y'[x_0][x-x_0]+y[x_0].\]
Lời giải chi tiết:
Có \[f[x] = -6x+6\]
\[f[x_0]= -6 -6x_0+ 6 = -6 \] \[ x_0= 2\]
Do đó: \[f[2] = 9, f[2] = 24\].
Phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[x_0= 2\] là:
\[y=f[2][x-2] + f[2] \] \[ y=9[x-2] +24 \] \[y = 9x+6.\]