Đề bài
Một hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có độ dài cạnh đáy là \[10cm\], chiều cao hình chóp là \[12cm.\]
Tính:
a] Diện tích toàn phần của hình chóp.
b] Thể tích hình chóp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
\[{S_{xq}} = 2p.h\]
Trong đó: \[p\] là nửa chu vi đáy, \[h\] là chiều cao.
- Diện tích toàn phần của hình lăng trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
- Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
\[V = S. h\]
Trong đó: \[S\] là diện tích đáy; \[h\] là chiều cao lăng trụ.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[O\] là tâm của hình vuông đáy.
Kẻ \[SK BC\]
Vì tam giác SBC cân tại S nên SK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, hay K là trung điểm của BC
Do đó: \[KB = KC =BC:2= 5 \;cm\]
Vì \[SO [ABCD]\] nên \[SO OK\]
Trong tam giác \[SOK\] có \[\widehat {SOK} = 90^\circ \]; \[OK = \displaystyle{1 \over 2}AB = 5\;[cm]\] [vì OK là đường trung bình của tam giác ABC]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SOK,\] ta có:
\[S{K^2} = S{O^2} + O{K^2} = {12^2} + {5^2} = 169\]
\[ \Rightarrow SK = 13\; [cm]\].
Diện tích xung quanh hình chóp đều là:
\[S_{xq} = \left[ {2.10} \right].13 = 260\;[c{m^2}]\]
Diện tích mặt đáy là: \[S = 10.10 = 100\;[c{m^2}]\]
Diện tích toàn phần hình chóp đều là:
\[{S_{TP}} = 260 + 100 = 360\;[c{m^2}]\]
b] Thể tích hình chóp đều là:
\[V = \displaystyle {1 \over 3}S.h = \displaystyle {1 \over 3}.100.12 = 400\;[c{m^3}]\].