Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1.Định nghĩa

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K x1,x2 K,x1< x2 thì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên Kx1,x2 K,x1< x2thì f(x1) > f(x2).

2.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) 0 với mọi x K.

- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) 0 với mọi x K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọix K thì f là hàm hằng trên K.

Định lý mở rộng

- Nếu f'(x) 0 với mọi x K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) 0 với mọi x K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

i) Tìm tập xác định

ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi(i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

iii) Sắp xếp các điểmxitheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.