Phương pháp quy nạp toán học 11 trang 82
|
Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức: a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\); b) \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\); c) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) Hướng dẫn giải a) Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \( \frac{1.(3.1+1)}{2} = 2\) Vậy hệ thức a) đúng với \(n = 1\). Đặt vế trái bằng \(S_n\) Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = \frac{k(3k+1)}{2}\) Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) = \( \frac{k(3k+1)}{2} + 3k + 2\) = \( \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}\) \( =\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2}=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\) (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) b) Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \frac{1}{2}\), vế phải bằng \( \frac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng. Đặt vế trái bằng \(S_n\). Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \( S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}\) Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\). Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \( S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}\) \(= \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\) (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) c) Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \frac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\). Đặt vế trái bằng \(S_n\). Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\) Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: \({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) = \( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)\(= (k + 1).\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6} = (k + 1)\frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\) \( =\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\) (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\). Bài 2 trang 82 sgk toán 11 Chứng minh rằng với \(n\in {\mathbb N}^*\) ta luôn có: a) \({n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\) chia hết cho \(3\); b) \({4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\) chia hết cho \(9\); c) \({n^3} + {\rm{ }}11n\) chia hết cho \(6\). Hướng dẫn giải: a) Đặt \(S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\) Với \(n = 1\) thì \(S_1= 9\) chia hết cho \(3\) Giả sử với \(n = k ≥ 1\), ta có \(S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k) \vdots\) \( 3\) Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\)\( \vdots\) \(3\) Thật vậy : \({\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\) \( = {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5\) \( = {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9\) hay \({S_{k + 1}} = {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\) Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k \) \( \vdots\) \(3\), mặt khác \(3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots\) \(3\) nên \(S_{k+1} \vdots\) \(3\). Vậy \({n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\) chia hết cho \(3\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) . b) Đặt \({S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\) Với \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18\) nên \(S_1 \vdots\) \(9\) Giả sử với \(n = k ≥ 1\) thì \({S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1\) chia hết cho \(9\). Ta phải chứng minh \(S_{k+1} \vdots\) \(9\). Thật vậy, ta có: \({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1\) \( = {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)\) Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k \vdots\) \(9\) nên \(4S_1 \vdots\) \(9\), mặt khác \(9(5k - 2) \vdots\) \(9\), nên \(S_{k+1} \vdots\) \(9\) Vậy \((4^n+ 15n - 1) \vdots\) \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) c) Đặt \({S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n\) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12\) nên \(S_1\) \( \vdots\) \(6\) Giả sử với \(n = k ≥ 1\) ,ta có \({S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k \vdots\) \(6\) Ta phải chứng minh \(S_{k+1}\)\( \vdots\) 6 Thật vậy, ta có \({S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11\) \( = ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\) Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\)\( \vdots\) \(6\), mặt khác \(k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4\) là số chẵn nên \(3(k^2+ k + 4)\) \( \vdots\) \(6\), do đó \(S_{k+1}\)\( \vdots\) \(6\) Vậy \(n^3+ 11n\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\). Bài 3 trang 82 sgk toán 11 Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức: a) \(3^n> 3n + 1\); b) \(2^{n+1} > 2n + 3\) Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là \(3^k> 3k + 1\) (1) Nhân hai vế của (1) vơi \(3\), ta được: \(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\). Vì \(6k - 1 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\) hay \(3^{k+1} > 3(k + 1) + 1\). tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Vậy \(3^n> 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\). b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(8\), vế phải bằng \(7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là \(2^{k+1} > 2k + 3\) (2) Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\) Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được: \({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\). Vì \(2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 1)+1}}> 2k + 5=2(k+1)+3\) Vậy \({2^{n+1}} > 2n + 3\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\). Bài 4 trang 83 sgk toán 11 Cho tổng \({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n(n + 1)}}\) với \(n\in {\mathbb N}^*\). a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}\) b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp. Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(\eqalign{ & {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr & {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr & {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \) b) Từ câu a) ta dự đoán \({S_n} = {n \over {n + 1}}(1)\), với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp Khi \(n = 1\), vế trái là \({S_1} = {1 \over 2}\) vế phải bằng \({1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\). Vậy đẳng thức (1) đúng. Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n\ge 1\), tức là \({S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}\) Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \({S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\) Ta có : \({S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}} = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}\) \( = {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\) tức là đẳng thức (1) đúng với \(n = k + 1\). Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh. Bài 5 trang 83 sgk toán 11 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \({{n(n - 3)} \over 2}\) Giải: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\). Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo. Mặt khác thay \(n = 4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \({{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\). Giả sử khẳng định đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là đa giác lồi \(k\) cạnh có số đường chéo là \({{k(k - 3)} \over 2}\) Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh Nối \(A_1\) và \(A_k\), ta được đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \({{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_1,A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo, ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là \({{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1 ={{{k^2} - k - 2} \over 2} = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\) Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh Vậy bài toán đã được chứng minh. Giaibaitap.me Page 2
Bài 1 trang 92 sgk toán 11 Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: a) \(u_n=\frac{n}{2^{n}-1}\); b) \(u_n= \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\) c) \(u_n=(1+\frac{1}{n})^{n}\); d) \(u_n \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\) Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1= 1\); \(u_2= \frac{2}{3}\), \( u_{3}=\frac{3}{7}; u_{4}=\frac{4}{15};u_{5}=\frac{5}{31}\) b) Năm số hạng đầu của dãy số là \( u_{1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{3}{5};u_{3}=\frac{7}{9};u_{4}=\frac{15}{17};u_{5}=\frac{31}{33}\) c) Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=2\); \( u_{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{64}{27};u_{4}=\frac{625}{256};u_{5}=\frac{7776}{3125}\) d) Năm số hạng đầu của dãy số là \( u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}};u_{3}=\frac{3}{\sqrt{10}};u_{4}=\frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\sqrt{26}}\) Bài 2 trang 92 sgk toán 11 Cho dãy số \(u_n\) , biết: \( u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\). Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(-1, 2, 5, 8, 11\). b) Chứng minh \(u_n = 3n - 4\) bằng phương pháp quy nạp: Với \(n =1\) thì \(u_1= 3.1 - 4 = -1\), đúng. Giả sử hệ thức đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(u_k= 3k -4\). Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có: \(u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4\). Vậy hệ thức đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) tức là công thức đã được chứng minh. Bài 3 trang 92 sgk toán 11 Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}\). b) Ta có: \(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{(1 + 8)}\) \( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{(2 + 8)}\) \(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{(3 + 8)}\) \(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{(4 + 8)}\) ........... Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{(n + 8)}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\) (1) Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp: - Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng. - Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có \(u_k = \sqrt{(k + 8)}\) với \(k ≥ 1\). Theo công thức dãy số, ta có: \(u_{k+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\). Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\). Vậy công thức (1) được chứng minh. Bài 4 trang 92 sgk toán 11 Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết: a) \(u_n= \frac{1}{n}-2\) ; b) \(u_n= \frac{n-1}{n+1}\); c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\) d) \(u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\). Hướng dẫn giải: a) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1} - 2 - ( \frac{1}{n}\) - 2) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\). Vì \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên \(u_{n+1}-u_n\) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}< 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) . Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm. b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\) = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\) Vậy \(u_{n+1}> u_n\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) hay dãy số đã cho là dãy số tăng. c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) nên dãy số không tăng và cũng không giảm. Vì: +) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\) +) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\) d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\). Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần. Bài 5 trang 92 sgk toán 11 Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? a) \(u_n= 2n^2-1\); b) \( u_n=\frac{1}{n(n+2)}\) Hướng dẫn giải: a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) và không bị chặn trên vì với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\). tức là luôn tồn tại \( n ≥ \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để \(2 n^{2}- 1 > M\) b) Dễ thấy \(u_n > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Mặt khác, vì \(n ≥ 1\) nên \(n^2≥ 1\) và \(2n ≥ 2\). Do đó \(n(n + 2) = n^2+ 2n ≥ 3\), suy ra \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\). Vậy dãy số bị chặn \(0 < u_n\) \(\leq \frac{1}{3}\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) c) Vì \(n ≥ 1\) nên \(2n^2- 1 > 0\), suy ra \( \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\) Mặt khác \(n^2 ≥ 1\) nên \(2n^2≥ 2\) hay \(2n^2- 1≥ 1\), suy ra \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\). Vậy \(0 < u_n ≤ 1\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\), tức dãy số bị chặn. d) Ta có: \(sinn + cosn = \sqrt 2sin(n + \frac{\pi }{4})\), với mọi \(n\). Do đó: \(-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Vậy \(-\sqrt 2 < u_n< \sqrt 2\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\). Giaibaitap.me Page 3
Bài 1 trang 97 sgk toán 11 Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó: a) \(u_n= 5 - 2n\); b) \(u_n= \frac{n}{2}- 1\); c) \(u_n= 3^n\) ; d) \(u_n= \frac{7-3n}{2}\) a) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\),\(u_{n+1}-u_n = -2\) Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1= 3\) và công sai \(d = -2\). b) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1}{2} - 1 - ( \frac{n}{2}- 1) = \frac{1}{2}\). Vậy dãy số là cấp số cộng với \(u_1= - \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\). c) Ta có \(u_{n+1}-u_n = 2.3^n\) không là hằng số (phụ thuộc \(n\)), vậy dãy số không phải là cấp số cộng. d) Với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(u_{n+1}-u_n= \frac{7-3(n+1)}{2}-\frac{7-3n}{2}=-\frac{3}{2}\) Vậy dãy số là cấp số cộng có \(u_1 = 2\), \(d = -\frac{3}{2}\). Bài 2 trang 97 sgk toán 11 Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: a) \( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\), b) \( \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\). Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức \(u_n= u_1+ (n – 1)d\). a) Từ hệ thức đã cho ta có: \( \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.\) .Giải hệ ta được: \(u_1= 16, d = -3\). b) Từ hệ đã cho ta có: \( \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ (u_{1}+d)(u_{1}+6d)=75 \end{matrix}\right.\) Giải hệ ta được: \(u_1= 3\) và \(d = 2\) hoặc \(u_1= -17\) và \(d = 2\) Bài 3 trang 97 sgk toán 11 Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\). a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
 Hướng dẫn giải: a) Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\) thì có thể tính được hai đại lượng còn lại. b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả. b1) Biết \(u_1= -2, u_n= 55, n = 20\). Tìm \(d, S_n\) Áp dụng công thức \(d = {{{u_n} - {u_1}} \over {n - 1}},{S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\) Đáp số: \(d = 3, S_{20}= 530\). b2) Biết \(d = -4, n = 15\), \(S_n= 120\). Tìm \(u_1,u_n\) Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\) và \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\) ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_1} - {u_{15}} = 56 \hfill \cr {u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ trên, ta được \(u_1= 36, u_{15}= - 20\). b3) Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\), từ đây ta tìm được \(n\); tiếp theo áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\). Đáp số: \(n = 28\), \(S_n= 140\). b4) Áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\), từ đây tìm được \(u_1\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\) để tìm \(d\). Đáp số: \(u_1= -5, d= 2\). b5) Áp dụng công thức \({S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right].n} \over 2}\), từ đây tìm được \(n\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\). Đáp số: \(n = 10, u_n= -43\). Bài 4 trang 98 sgk toán 11 Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5 m\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng \(2\) gồm \(21\) bậc, mỗi bậc cao \(18 cm\). a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân. b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân. Hướng dẫn giải: a) Gọi chiều cao của bậc thứ \(n\) so với mặt sân là \(h_n\) Ta có: \( h_n= 0,5 + n.0,18(m)\). b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là \(h_{21}= 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m)\). Bài 5 trang 98 sgk toán 11 Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ Hướng dẫn giải: Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: \(S = 1 + 2 + 3 +....+ 12\). Đây là tổng của \(12\) số hạng của cấp số cộng có \(u_1= 1, u_{12}= 12\). Do đó áp dụng công thức tính tổng, ta có \(S = \frac{(1+12).12}{2} = 78\). Vậy đồng hồ đánh \(78\) tiếng chuông. Giaibaitap.me Page 4
Page 5
Bài 4 trang 104 sgk toán 11 Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \(31\) và tổng của năm số hạng sau là \(62\). Hướng dẫn giải: Giả sử có cấp số nhân: \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\) Theo giả thiết ta có: \({u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\). (1) \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62\). (2) Nhân hai vế của (1) với \(q\), ta được: \({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\) hay \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\) Suy ra \(62 = 31.q\) hay \(q = 2\). Ta có \(S_5= 31 = {{{u_1}(1 - {2^5})} \over {1 - 2}}\) nên suy ra \(u_1= 1\). Vậy ta có cấp số nhân \(1, 2, 4, 8, 16, 32\). Bài 5 trang 104 sgk toán 11 Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là \(1,4\% \). Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là \(1,8\) triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là \(N\). Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là \(1,4\%.N\). Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là \(N + 1,4\%.N = 101,4\%.N =\) \( \frac{101,4}{100}.N\). Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân. \(N\), \( \frac{101,4}{100}.N\), \( (\frac{101,4}{100})^{2}.N\), ... Vậy nếu \(N = 1,8\) triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau \(5\) năm số dân của tỉnh là \( (\frac{101,4}{100})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người) và sau \(10\) năm sẽ là \( (\frac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người). Bài 6 trang 104 sgk toán 11 Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(4\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi \(a_1\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số \((a_n)\) là một cấp số nhân. Hướng dẫn giải:
Xét dãy số \((a_n)\), ta có \(a_1= 4\). Giả sử hình vuông cạnh \(C_n\) có độ dài cạnh là \(a_n\). Ta sẽ tính cạnh \(a_{n+1}\) của hình vuông \(C_{n+1}\) Theo hình 44, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: \({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{1 \over 4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 4}{a_n}} \right)}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*\) Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1= 4\) và công bội \(q = {{\sqrt {10} } \over 4}\). Giaibaitap.me Page 6
Bài 1 trang 121 sgk đại số 11 Có \(1 kg\) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã). Gọi \((u_n)\) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \(n\). a) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\). b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\). c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\). Hướng dẫn giải: a) Nhận xét: \(u_1=\frac{1}{2}\); \(u_2= \frac{1}{4}\); \(u_3=\frac{1}{8}\); ... \(u_n=\frac{1}{2^{n}}\). Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp. b) \(\lim {u_n} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\). c) Đổi \(10^{-6}g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}}kg = \frac{1}{10^{9}} kg\). Muốn có \(u_n= \frac{1}{2^{n}}\) < \(\frac{1}{10^{9}}\), ta cần chọn \(n_0\) sao cho \({2^{{n_0}}} > {10^9}\). Suy ra \(n_0= 30\). Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. Bài 2 trang 121 sgk đại số 11 Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\). Giải: Vì \(\lim \frac{1}{n^{3}}\) = 0 nên |\(\frac{1}{n^{3}}\)| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác, ta có \(|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\) = |\(\frac{1}{n^{3}}\)| với mọi \(n\). Nếu \(|u_n-1|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim (u_n-1) = 0\). Do đó \(\lim u_n= 1\). Bài 3 trang 121 sgk đại số 11 Tìm giới hạn sau: a) \(\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\); b) \(\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\); c) \(\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\); d) \(\lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\). Giải: a) \(\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\) \(= \lim\frac{6 - \frac{1}{n}}{3 +\frac{2}{n}}\) = \(\frac{6}{3} = 2\). b) \(\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\)\( = \lim \frac{3 +\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}= \frac{3}{2}\). c) \(\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\)\(= \lim \frac{{\left( {{3 \over 4}} \right)^n}+5}{1+{\left( {{1 \over 2}} \right)^n}}=\frac{5}{1}\) = 5. d) \(\lim \frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\) = \(\lim \frac{\sqrt{{n^2}\left( {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right)}}{n(4-\frac{2}{n})}\)= \(\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{4-\frac{2}{n}}\) =\(\frac{\sqrt{9}}{4}\)= \(\frac{3}{4}\). Bài 4 trang 122 sgk đại số 11 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \(1\). Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \(1, 2, 3, ..., n, ...\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51) Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn. a) Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \(u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\). b) Tính \(\lim S_n\) với \(S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\) Giải: a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) nên \(u_1 =(\frac{1}{2}\))2 = \(\frac{1}{4}\). Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \(\frac{1}{4}\) nên \({u_2} = {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} = {1 \over {{4^2}}}\). Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \(\frac{1}{8}\) nên \({u_3} = {\left( {{1 \over 8}} \right)^2} = {1 \over {{4^3}}}\) Tương tự, ta có \(u_n=\frac{1}{4^{n}}\) b) Dãy số \((u_n)\) là một cặp số nhân lùi vô hạn với \(u_1=\frac{1}{4}\) và \(q = \frac{1}{4}\). Do đó \(\lim S_n=\frac{u_{1}}{1-q}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\). Giaibaitap.me Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\): a) Tại điểm có tọa độ \((-1;-1)\); b) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\); c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\). Giải: Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = 3x^2\). a) \(y' (-1) = 3\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \((-1;-1)\) là \(y - (-1) = 3[x - (-1)]\) hay \(y = 3x+2\). b) \(y' (2) = 12\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(12\). Ngoài ra ta có \(y(2) = 8\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(2\) là: \( y - 8 = 12(x - 2)\) hay \(y = 12x -16\). c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có: \(y' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrow x_0= ±1\). +) Với \(x_0= 1\) ta có \(y(1) = 1\), phương trình tiếp tuyến là \( y - 1 = 3(x - 1)\) hay \(y = 3x - 2\). +) Với \(x_0= -1\) ta có \(y(-1) = -1\), phương trình tiếp tuyến là \(y - (-1) = 3[x - (-1)]\) hay \(y = 3x + 2\). Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y = \frac{1}{x}\): a) Tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\) b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\); c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\). Giải: Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = - \frac{1}{x^{2}}\). a) \(y' \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-4\). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\) là \(y - 2 = -4(x - \frac{1}{2})\) hay \(y = -4x + 4\). b) \(y' (-1) = -1\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-1\). Ngoài ra, ta có \(y(-1) = -1\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là \(y - (-1) = -[x - (-1)]\) hay \(y = -x - 2\). c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có \(y' (x_0) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{x_{0}^{2}} = - \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\). Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}(x - 2)\) hay \(y = \frac{1}{4}x + 1\). Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y - \left ( -\frac{1}{2} \right ) = - \frac{1}{4}[x - (-2)]\) hay \(y = - \frac{1}{4}x -1\) Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = {1 \over 2}g{t^2}\) , trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s2 là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\). b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\). Giải: a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \(t\) đến \(t + ∆t\) là \(V_{tb}= \frac{s\left ( t+\Delta t \right )-s\left ( t \right )}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left ( t+\Delta t \right )^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g(2t + \Delta t) \approx 4,9.(2t + \Delta t)\) Với \( t=5\) và +) \(∆t = 0,1\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s\); +) \(∆t = 0,05\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s\); +) \(∆t = 0,001\) thì \(v_{tb} ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s\). b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\) tương ứng với \(∆t = 0\) nên \(v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s\). Giaibaitap.me Page 14
Page 15
Bài 1 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\); b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\); c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\); d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\). Lời giải: a) \( y'=\frac{\left ( x-1 \right )'.\left ( 5x-2 \right )-\left ( x-1 \right ).\left ( 5x-2 \right )'}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x-2-\left ( x-1 \right ).5}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{3}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\). b) \( y'=\frac{\left ( 2x+3 \right )'.\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( 7-3x \right )'}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{2\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( -3 \right )}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{23}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\). c) \( y'=\frac{\left ( x^{2}+2x+3 \right )'.\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2} +2x+3\right ).\left ( 3-4x \right )'}{\left ( 3-4x \right )^{2}}\) = \( \frac{\left ( 2x+2 \right ).\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2}+2x+3 \right ).(-4)}{(3-4x)^{2}}\) = \( \frac{-2(2x^{2}-3x-9)}{(3-4x)^{2}}\). d) \( y'=\frac{(x^{2}+7x+3)'.(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(x^{2}-3x)'}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{(2x-7).(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(2x-3)}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{-10x^{2}-6x+9}{(x^{2}-3x)^{2}}\). Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Giải các bất phương trình sau: a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\) b) \(y'≥0\) với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\); c) \(y'>0\) với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\). Lời giải: a) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\) Do đó, \(y'<0\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 1 \hfill \cr - 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\). b) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\). Do đó, \(y'≥0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \le - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\). c).Ta có \( y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\). Do đó, \(y'>0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 \)\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\) Vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\). Bài 3 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = 5sinx -3cosx\); b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\); c) \(y = x cotx\); d) \(y = \frac{sinx}{x}\) + \( \frac{x}{sinx}\); e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\); f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\). Lời giải: a) \(y'=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx\); b) \( y'={{(sinx+cos x)'.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)'}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\) = \( {{(cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)}\over{(sin x-cosx )^{2}}}\) = \( {{-2}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\). c) \(y' = cotx +x. \left ( -\frac{1}{sin^{2}x} \right )= cotx - \frac{x}{sin^{2}x}\). d) \( y'=\frac{(sin x)'.x-sin x.(x)'}{x^{2}}\) +\( \frac{(x)'.sin x-x(sin x)'}{sin^{2}x}\) = \( \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+\frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\)\( = (x. cosx -sinx) \left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right )\). e) \( y'=\frac{(1+2tanx)'}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{\frac{2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx}}\). f) \(y' = (\sqrt{(1+x^2)})' cos\sqrt{(1+x^2)} \)\(= \frac{(1+x^{2})'}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)}\). Bài 4 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\); b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\); c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\); d) \(y = tan^2x +cotx^2\); e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\). Lời giải: a) \(y' = \left( {9 - 2x} \right)'(2{x^3} - 9{x^2} + 1) + \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)'\) \(= - 2(2{x^3} - 9{x^2} + 1) + \left( {9 - 2x} \right)(6{x^2} - 18x) \) \(= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\). b) \(y' = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )'.(7x -3) +\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)'\) \(= \left ( \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right )(7x -3) +7 \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )\). c) \(y' = (x -2)'\sqrt{(x^2+1)} + (x -2)\sqrt {(x^2+1)}' \) \(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2)\frac{\left ( x^{2}+1 \right )'}{2\sqrt{x^{2}+1}}\) \(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2) \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\) \( = \sqrt {(x^2+1)} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) = \( \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\). d) \(y' = 2tanx.(tanx)' - (x^2)' \left ( -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right )\) = \( \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\). e) \(y' = \left ( \frac{1}{1+x} \right )'sin \frac{x}{1+x}\) = \( -\frac{1}{(1+x)^{2}}sin \frac{x}{1+x}\). Giaibaitap.me Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Page 25
Page 26
|
