Số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa Định nghĩa 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng (a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2. Định nghĩa 2. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các cặp số (x; y) là nghiệm chung của hai phương trình. 2. Nghiệm và số các nghiệm của hệ – Minh họa bằng đồ thị Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng (a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2. Hệ số nghiệm duy nhất ⇔ a1 a2 6= b1 b2. Hệ vô nghiệm ⇔ a1 a2 = b1 b2 6= c1 c2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ a1 a2 = b1 b2 = c1 c2. 3. Hệ phương trình tương đương Định nghĩa 3. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Định nghĩa 4. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi từ một hệ phương trình đến một hệ phương trình khác tương đương với nó. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình sau bằng đồ thị (4x + 3y = 12 8x + 6y = 24. LỜI GIẢI. 4x + 3y = 12 ⇔ y = − 4 3 x + 4. 8x + 6y = 24 ⇔ y = − 4 3 x + 4. Ta có đồ thị bên. Dựa vào đồ thị, hai đường thẳng trùng nhau nên có vô số điểm chung. Vậy hệ có vô số nghiệm, mỗi nghiệm là tọa độ (x; y) của một điểm trên đường thẳng 4x + 3y = 12. x y O 3 4. VÍ DỤ 2. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao? (y = 3 − 2x y = 3x − 1. a) y = − 1 2 x + 3 y = − 1 2 x + 1. b) (2y = −3x 3y = 2x. c) 3x − y = 3 x − 1 3 y = 1. d) LỜI GIẢI. 1 Xét các phương trình trong hệ, ta có Đường thẳng y = 3 − 2x có hệ số góc a1 = −2. Đường thẳng y = 3x − 1 có hệ số góc a2 = 3. Vì a1 6= a2 nên hai đường thẳng này cắt nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất. 2 Xét các phương trình trong hệ, ta có Đường thẳng y = − 1 2 x + 3 có hệ số góc a1 = − 1 2 và b1 = 3. Đường thẳng y = − 1 2 x + 1 có hệ số góc a2 = − 1 2 và b2 = 1. Vì a1 = a2 và b1 6= b2 nên hai đường thẳng này song song. Vậy hệ vô nghiệm. 3 Xét các phương trình trong hệ, ta có Đường thẳng y = − 3 2 x có hệ số góc a1 = − 3 2. Đường thẳng y = 2 3 x có hệ số góc a2 = 2 3. Vì a1a2 = −1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất. 4 Xét các phương trình trong hệ, ta có Đường thẳng 3x − y = 3 ⇔ y = 3x − 3. Đường thẳng x − 1 3 y = 1 ⇔ y = 3x − 3. Ta thấy hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm. VÍ DỤ 3. Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị) (2x − y = −1 x − y = −1. a) x − y = 8 x 2 − y 2 = 4. b) (3x + 6y = 6 x + 2y = 3. c) LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng a1 a2 = 2 1 = 2 và b1 b2 = −1 −1 = 1, suy ra a1 a2 6= b1 b2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. x y y = x + 1 y = 2x + 1 −1 O − 1 2 1 2 Nhận xét rằng a1 a2 = 1 1 2 = 2 và b1 b2 = −1 − 1 2 = 2, suy ra a1 a2 = b1 b2 = 2 = c1 c2. Vậy hệ có vô số nghiệm. x y y = x − 8 O 8 −8 3 Nhận xét rằng a1 a2 = 3 1 = 3 và b1 b2 = 6 2 = 3, suy ra a1 a2 = b1 b2 = 3 6= 2 = c1 c2. Vậy hệ vô nghiệm. x y 3x + 6y = 6 x + 2y = 2 O 2 3 1 3 2 VÍ DỤ 4. Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị) (4x + 0y = 12 x − y = 2. a) (x + 3y = 6 0x − y = −2. b) LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng a1 a2 = 4 1 = 4 và b1 b2 = 0 −1 = 0, suy ra a1 a2 6= b1 b2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. x y x = 3 x − y = 2 O 2 3 1 −2 2 Nhận xét rằng a2 a1 = 0 1 = 0 và b2 b1 = −1 3, suy ra a2 a1 6= b2 b1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. x y y = 2 O x + 3y = 6 6 2 VÍ DỤ 5. Chứng tỏ rằng hệ phương trình (ax − y = 2 x + 2y = 3. a) Có nghiệm duy nhất với a = 3. Vô nghiệm với a = − 1 2 b). Hãy minh họa bằng đồ thị.

LỜI GIẢI. 1 Với a = 3, hệ phương trình có dạng (3x − y = 2 x + 2y = 3. Nhận xét rằng a1 a2 = 3 1 = 3 và b1 b2 = −1 2, suy ra a1 a2 6= b1 b2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. x y x + 2y = 3 3x − y = 2 O 3 −2 1 1 2 Với a = − 1 2, hệ phương trình có dạng − 1 2 x − y = 2 x + 2y = 3. Nhận xét rằng a1 a2 = − 1 2 và b1 b2 = − 1 2, suy ra a1 a2 = b1 b2 = − 1 2 6= 2 3 = c1 c2. Vậy hệ vô nghiệm. x y x + 2y = 3 x + 2y = −4 O 3 3 2 −4 −2 VÍ DỤ 6. Cho hệ phương trình (a1x + y = b a2x + y = b. 1 Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a1, a2, b bất kì. 2 Hệ có thể có vô số nghiệm được không? LỜI GIẢI. 1 Biến đổi hệ về dạng (y = −a1x + b (d1) y = −a2x + b (d2). Nhận xét rằng, hai đường thằng (d1) và (d2) ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục Oy (vì hệ số tự do bằng nhau) tại điểm I(0; b). Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm (0; b) với mọi a1, a2, b bất kì. 2 Hệ có vô số nghiệm khi (d1) trùng (d2) ⇔ a1 = a2. VÍ DỤ 7. Sử dụng ba định lí đã biết tìm ba hệ phương trình tương đương với hệ sau (x − y = 2 x − 3y = 8. LỜI GIẢI. Sử dụng định lí 1, ta được (x − y = 2 x − 3y = 8 ⇔ x 2 − y 2 = 1 x − 3y = 8. Sử dụng định lí 2, ta được (x − y = 2 x − 3y = 8 ⇔ (x − y = 2 (x − y) − (x − 3y) = 2 − 8 ⇔ (x − y = 2 2y = −6. Sử dụng định lí 3, ta được (x − y = 2 x − 3y = 8 ⇔ (x = y + 2 (y + 2) − 3y = 8 ⇔ (x = y + 2 − 2y = 6. Nhận xét. Trong lời giải trên, khi sử dụng định lí 2 và định lí 3, nếu chúng ta chỉ cần sử dụng thêm một lần nữa định lí 3, sẽ thu được nghiệm của hệ.

Ví dụ 17. Cho hệ phương trình

a) Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Giải và biện luận hệ phương trình trên.

Giải                                   

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

ab’ – a’b ≠ 0 <=> 1.1 – m.m ≠ 0 <=> 1 – ≠ 0 <=> m ≠ ± 1.

Với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b)  Rút x từ (1) ta được x = m + 1 – my.

Thay biểu thức của x vào (2) :

m(m + 1 – my) + y = 3m – 1 <=> +m – y + y = 3m – 1

<=> y – y =  + 2m – 1 <=> (1 – )y = .

Nếu m ≠ ± 1 thì

Nếu m = 1 thì hệ phương trình đã cho trở thành

 

Nếu m = -1 thì hệ đã cho trở thành

Kết luận :

–   Nếu m ≠ ± 1, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

 

–   Nếu m = 1, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ; x bất kì, y = 2 – x.

–   Nếu m = -1, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

BÀI TẬP

80. Giải các hệ phương trình:

81. Cho hệ phương trình:

Xác định các hệ số a và b để hệ phương trình có nghiệm x = 3, y = -2.

82. Cho hai đường thẳng:

2x – y = -6 và x + y = 3.

a)  Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng.

 b)  Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB.

83. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ; 5x + 4y = -3 và song song với đường thẳng y = 2x – 1.

84. Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M(3 ; 5) và N(-1 ; -7). Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với các trục toạ độ.

85. Xác định giá trị của a để các đường thẳng sau đồng quy :

y = ax, y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8. 

86. Cho ba điểm A(3 ; 5), B(-1 ; -7), C(1 ; -1). Chứng minh rằng ba điểm A,

B, C thẳng hàng.

 87. Cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(3 ; 2), C(2 ; -1), D(-2 ; -2).

a)  Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CD, DA.

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

88. Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm dương :

89.

Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đường thẳng mx – y = 2, 3x + my = 5 nằm trong góc vuông phần tư IV. (Các góc vuông phần tư I, II, III, IV được kí hiệu như trên hình 3).

Hình 3

90. Tìm giá trị nguyên của m để giao điểm của các đường thẳng mx – 2y = 3 và 3x + my = 4 nằm trong góc vuông phần tư IV.

 91. Giải và biện luận hệ phương trình 

92. Tìm giá trị của m để hệ phương trình

vô nghiệm, vô số nghiệm.

 93.

Tìm giá trị của m để các đường thẳng

                                   (d1) :      mx + (m – 1)y = 3m + 4

                                   (d2) :    2mx + (m+ 1)y = m- 4

a)  Cắt nhau ;                    b) Song song ;                 c) Trùng nhau.

94. Giải hệ phương trình:

95.

Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :

a) (3x – y)(5x + 3y) =11;                        b) (x + 2y)(3x + 4y) = 96.

96*. Viết số 100 thành tổng các số nguyên dương liên tiếp.

97*. Viết số 117 thành tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp.

Giải các hệ phương trình (từ bài 98 đến 108) :

 

Xem hướng dẫn giải tại đây.

Related