- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Vẽ đồ thị [P] của hàm số \[y = {x^2} - x + 1\] và đồ thị [H] của hàm số \[y = {1 \over {x + 1}}\].
Lời giải chi tiết:
Vẽ [P]:
[P] là parabol có đỉnh \[\left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right]\], bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm \[\left[ {0;1} \right]\], \[\left[ {1;1} \right]\]
Vẽ [H]:
\[y' = - \frac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1\] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\]
Đồ thị có TCĐ \[x = - 1\], TCN \[y = 0\]
Đi qua các điểm \[\left[ {0;1} \right],\left[ { - 2; - 1} \right]\]
LG b
Tìm giao điểm của hai đường cong [P] và [H]. Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của parabol [P] và hypebol [H] là nghiệm của phương trình:
\[{x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \] \[\Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right] = 1\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\]
\[\Rightarrow {y\left[ 0 \right] = 1} \]
Giao điểm của [P] và [H] là A[0;1]
Đặt \[f\left[ x \right] = {x^2} - x + 1;\,g\left[ x \right] = {1 \over {x + 1}}\]
Ta có: \[f'\left[ x \right] = 2x - 1;\,g'\left[ x \right] = - {1 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]
\[f'\left[ 0 \right] = g'\left[ 0 \right] = - 1\]
Suy ra [P] và [H] có tiếp tuyến chung tại A nên [P] và [H] tiếp xúc nhau tại điểm A.
Khi đó tiếp tuyến chung của [P] và [H] tại A[0;1] có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:
y=-1[x-0]+1 hay y=-x+1.
Chú ý:
Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là [0;1].
LG c
Xác định các khoảng trên đó [P] nằm phía trên hoặc phía dưới [H].
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu \[f\left[ x \right] - g\left[ x \right] = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}}\] \[ = {{{x^3}} \over {x + 1}}\]
Bảng xét dấu f[x] g[x]
Từ bảng xét dấu ta thấy,
\[f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] - g\left[ x \right] > 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < - 1
\end{array} \right.\]
Do đó, trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]và \[\left[ {0; + \infty } \right]\] thì [P] nằm phía trên [H].
\[f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\] \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] - g\left[ x \right] < 0\] \[ \Leftrightarrow -1 < x < 0\] nên trên khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] thì [P] nằm phía dưới [H].