Các bài toán tính tổng nhị thức niu tơn năm 2024
|
Với Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem: Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn - Toán lớp 11 1. Tổng hợp lý thuyết Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn: 2. Các công thức Phương pháp tìm tổng các hệ số trong khai triển Xét khai triển tổng quát: (với a,b là các hệ số; x,y là biến) a+bn=∑k=0nCnkaxn−kbyk \=Cn0anxn+Cn1an−1b.xn−1y+Cn2an−2b2.xn−2y2+...+Cnn−1abn−1.xyn−1+Cnnbnyn Tổng các hệ số trong khai triển là: S=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b2+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn Ta chọn biến x = 1; y = 1 thay vào khai triển: S=a+bn (Chú ý: tùy thuộc vào khai triển đề bài cho, có thể xét khai triển với chỉ 1 biến x) 3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khai triển (1 – 3x)2021 = a0 + a1x1 + ... + a2021x2021. Tổng hệ số của: a0 + a1 + ... + a2021 Lời giải Ví dụ 2: Tính tổng: S=C500+3C501+32C502+...+350C5050 Lời giải Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác: Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn Công thức tính xác suất Công thức cấp số cộng Công thức tính công sai của cấp số cộng TOANMATH.com giới thiệu đến thầy, cô và các em học sinh tài liệu bài tập nhị thức Niu-tơn vận dụng cao do bạn Nguyễn Minh Tuấn biên soạn, đây là dạng toán thường gặp không chỉ trong chương trình Đại số và Giải tích 11 mà còn bắt gặp trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Các bài toán vận dụng cao về nhị thức Niu-tơn (Newton) thường được phát biểu dưới dạng các công thức cồng kềnh, khó nắm bắt nên gây nhiều khó khăn cho các em học sinh, thông qua tài liệu này, tác giả mong muốn giới thiệu đến các em những phương pháp hay và mạnh để giải quyết dạng toán này. Nội dung tài liệu:
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Với Cách tính tổng nhị thức Niu-tơn cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tổng nhị thức Niu-tơn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11. A. Phương pháp giải & Ví dụPhương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên. Một số kết quả ta thường hay sử dụng: Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng. Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. $\text{S =}\,\,\text{C}_{\text{6}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{6}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{6}}{\text{6}}={{2}{6}}=64$ [collapse] Câu 3: Khai triển ${{\left( x+y \right)}{5}}$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=\,\,C_{5}{0}+C_{5}{1}+…+C_{5}{5}$ [A]. 32. [B]. 64. [C]. 1. [D]. 12. Hướng dẫn Chọn A Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{5}}{\text{5}}={{(1+1)}{5}}=32$. [collapse] Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}{0}+2C_{n}{1}+4C_{n}{2}+…+{{2}{n}}C_{n}^{n}=243$ [A]. 4 [B]. 11 [C]. 12 [D]. 5 Hướng dẫn Chọn D Xét khai triển: ${{(1+x)}{n}}=C_{n}{0}+xC_{n}{1}+{{x}{2}}C_{n}{2}+…+{{x}{n}}C_{n}^{n}$ Cho $x=2$ ta có: $C_{n}{0}+2C_{n}{1}+4C_{n}{2}+…+{{2}{n}}C_{n}{n}={{3}{n}}$ Do vậy ta suy ra ${{3}{n}}=243={{3}{5}}\Rightarrow n=5$. [collapse] Câu 5: Khai triển ${{\left( x+y \right)}{5}}$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=\,\,C_{5}{0}+C_{5}{1}+…+C_{5}{5}$ [A]. 32. [B]. 64. [C]. 1. [D]. 12. Hướng dẫn Chọn A Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}{\text{1}}\text{+}…\text{+C}_{\text{5}}{\text{5}}={{(1+1)}{5}}=32$. [collapse] Câu 6: Khai triển ${{\left( 1+x+{{x}{2}}+{{x}{3}} \right)}{5}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}{2}}+…+{{a}_{15}}{{x}^{15}}$
[A]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.+C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$ [B]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}+C_{5}{2}C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$ [C]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}+C_{5}{2}C_{5}{4}-C_{5}{4}C_{5}{3}$ [D]. ${{a}_{10}}=C_{5}{0}.C_{5}{5}-C_{5}{2}C_{5}{4}+C_{5}{4}C_{5}{3}$
[A]. 131 [B]. 147614 [C]. 0 [D]. 1 Hướng dẫn Đặt $f(x)={{(1+x+{{x}{2}}+{{x}{3}})}{5}}={{(1+x)}{5}}{{(1+{{x}{2}})}{5}}$
[collapse] Câu 7: Khai triển ${{\left( 1+2x+3{{x}{2}} \right)}{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}{2}}+…+{{a}_{20}}{{x}{20}}$
[A]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}{{.2}{4}}$ [B]. ${{a}_{4}}={{2}{4}}C_{10}{4}$ [C]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}C_{10}{4}$ [D]. ${{a}_{4}}=C_{10}{0}{{.2}{4}}C_{10}^{4}$
[A]. $S={{17}^{10}}$ [B]. $S={{15}^{10}}$ [C]. $S={{17}^{20}}$ [D]. $S={{7}^{10}}$ Hướng dẫn Đặt $f(x)={{(1+2x+3{{x}{2}})}{10}}=\sum\limits_{k=0}{10}{C_{10}{k}{{3}{k}}{{x}{2k}}{{(1+2x)}^{10-k}}}$ $=\sum\limits_{k=0}{10}{C_{10}{k}{{3}{k}}{{x}{2k}}\sum\limits_{i=0}{10-k}{C_{10-k}{i}{{2}{10-k-i}}{{x}{10-k-i}}}}$ $=\sum\limits_{k=0}{10}{\sum\limits_{i=0}{10-k}{C_{10}{k}C_{10-k}{i}{{3}{k}}{{2}{10-k-i}}{{x}^{10+k-i}}}}$
[collapse] Câu 8: Tính tổng sau: $S=\dfrac{1}{2}C_{n}{0}-\dfrac{1}{4}C_{n}{1}+\dfrac{1}{6}C_{n}{3}-\dfrac{1}{8}C_{n}{4}+…+\dfrac{{{(-1)}{n}}}{2(n+1)}C_{n}{n}$ [A]. $\dfrac{1}{2(n+1)}$ [B]. 1 [C]. 2 [D]. $\dfrac{1}{(n+1)}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S=\dfrac{1}{2}\left( C_{n}{0}-\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}-…+\dfrac{{{(-1)}{n}}}{n+1}C_{n}^{n} \right)$ Vì $\dfrac{{{(-1)}{k}}}{k+1}C_{n}{k}=\dfrac{{{(-1)}{k}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$ nên:$S=\dfrac{1}{2(n+1)}\sum\limits_{k=0}{n}{{{(-1)}{k}}C_{n+1}^{k+1}}$ $=\dfrac{-1}{2(n+1)}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{{{(-1)}{k}}C_{n+1}{k}}-C_{n+1}{0} \right)=\dfrac{1}{2(n+1)}$. [collapse] Câu 9: Tính tổng sau: $S=C_{n}{1}{{3}{n-1}}+2C_{n}{2}{{3}{n-2}}+3C_{n}{3}{{3}{n-3}}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $n{{.4}^{n-1}}$ [B]. 0 [C]. 1 [D]. ${{4}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S={{3}{n}}\sum\limits_{k=1}{n}{kC_{n}{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}}$ Vì $kC_{n}{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}=n{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k-1}$ $\forall k\ge 1$nên $S={{3}{n}}.n\sum\limits_{k=1}{n}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k-1}}={{3}{n-1}}.n\sum\limits_{k=0}{n-1}{{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}{k}}C_{n-1}{k}}$$={{3}{n-1}}.n{{(1+\dfrac{1}{3})}{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}$. [collapse] Câu 10: Tính các tổng sau: ${{S}_{1}}=C_{n}{0}+\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{1}{n+1}C_{n}{n}$ [A]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}+1}{n+1}$ [B]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}$ [C]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}+1$ [D]. $\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $\dfrac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\dfrac{1}{k+1}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{1}{n+1}\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ (}n+1)-(k+1))!}$ $=\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ (*) $\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}{n}{C_{n+1}{k+1}}=\dfrac{1}{n+1}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{C_{n+1}{k}}-C_{n+1}{0} \right)=\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}$. [collapse] Câu 11: Tính các tổng sau:${{S}_{2}}=C_{n}{1}+2C_{n}{2}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $2n{{.2}^{n-1}}$ [B]. $n{{.2}^{n+1}}$ [C]. $2n{{.2}^{n+1}}$ [D]. $n{{.2}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn D Ta có: $kC_{n}^{k}=k.\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$ $=n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}=nC_{n-1}^{k-1}$, $\forall k\ge 1$ $\Rightarrow {{S}_{2}}=\sum\limits_{k=1}{n}{nC_{n-1}{k-1}}=n\sum\limits_{k=0}{n-1}{C_{n-1}{k}}=n{{.2}^{n-1}}$. [collapse] Câu 12: Tính các tổng sau:${{S}_{3}}=2.1.C_{n}{2}+3.2C_{n}{3}+4.3C_{n}{4}+…+n(n-1)C_{n}{n}$. [A]. $n(n-1){{2}^{n-2}}$ [B]. $n(n+2){{2}^{n-2}}$ [C]. $n(n-1){{2}^{n-3}}$ [D]. $n(n-1){{2}^{n+2}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có $k(k-1)C_{n}{k}=\dfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)C_{n-2}{k-2}$ $\Rightarrow {{S}_{3}}=n(n-1)\sum\limits_{k=2}{n}{C_{n-2}{k-2}}=n(n-1){{2}^{n-2}}$. [collapse] Câu 13: Tính tổng $S=C_{n}{0}+\dfrac{{{3}{2}}-1}{2}C_{n}{1}+…+\dfrac{{{3}{n+1}}-1}{n+1}C_{n}^{n}$ [A]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [B]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}+{{2}{n+1}}}{n+1}-1$ [C]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}+1$ [D]. $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}-1$ Hướng dẫn Chọn D Ta có $S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}$, trong đó ${{S}_{1}}=C_{n}{0}+\dfrac{{{3}{2}}}{2}C_{n}{1}+\dfrac{{{3}{3}}}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{{{3}{n+1}}}{n+1}C_{n}^{n}$ ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}C_{n}{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}{2}+…+\dfrac{1}{n+1}C_{n}^{n}$ Ta có ${{S}_{2}}=\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Tính ${{S}_{1}}=?$ Ta có: $\dfrac{{{3}{k+1}}}{k+1}C_{n}{k}={{3}{k+1}}\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$ $=\dfrac{{{3}{k+1}}}{n+1}\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n+1)-(k+1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ !}}$$=\dfrac{{{3}{k+1}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$ $\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}{n}{{{3}{k+1}}C_{n+2}{k+1}}-2C_{n}{0}$$=\dfrac{1}{n+1}\left( \sum\limits_{k=0}{n+1}{{{3}{k}}C_{n+1}{k}}-C_{n}{0} \right)-2C_{n}{0}$$=\dfrac{{{4}{n+1}}-1}{n+1}-2$. Vậy $S=\dfrac{{{4}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}-1$. [collapse] Câu 14: Tính tổng $S=C_{n}{0}+\dfrac{{{2}{2}}-1}{2}C_{n}{1}+…+\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}C_{n}^{n}$ [A]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [B]. $S=\dfrac{{{3}{n}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$ [C]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n}}}{n+1}$ [D]. $S=\dfrac{{{3}{n+1}}+{{2}{n+1}}}{n+1}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}$ Trong đó ${{S}_{1}}=\sum\limits_{k=0}{n}{C_{n}{k}\dfrac{{{2}{k+1}}}{k+1}};\text{ }{{S}_{2}}=\sum\limits_{k=0}{n}{\dfrac{C_{n}{k}}{k+1}}=\dfrac{{{2}{n+1}}-1}{n+1}-1$ Mà $\dfrac{{{2}{k+1}}}{k+1}C_{n}{k}=\dfrac{{{2}{k+1}}}{n+1}C_{n+1}{k+1}$$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{{{3}^{n+1}}-1}{n+1}-1$ Suy ra: $S=\dfrac{{{3}{n+1}}-{{2}{n+1}}}{n+1}$. [collapse] Câu 15: Tìm số nguyên dương n sao cho : $C_{2n+1}{1}-2.2C_{2n+1}{2}+{{3.2}{2}}C_{2n+1}{3}-…+(2n+1){{2}{n}}C_{2n+1}{2n+1}=2005$ [A]. n=1001 [B]. n=1002 [C]. n=1114 [D]. n=102 Hướng dẫn Chọn B Đặt $S=\sum\limits_{k=1}{2n+1}{{{(-1)}{k-1}}.k{{.2}{k-1}}C_{2n+1}{k}}$ Ta có: ${{(-1)}{k-1}}.k{{.2}{k-1}}C_{2n+1}{k}=={{(-1)}{k-1}}.(2n+1){{.2}{k-1}}C_{2n}{k-1}$ Nên $S=(2n+1)(C_{2n}{0}-2C_{2n}{1}+{{2}{2}}C_{2n}{2}-…+{{2}{2n}}C_{2n}{2n})=2n+1$ Vậy $2n+1=2005\Leftrightarrow n=1002$. [collapse] Câu 16: Tính tổng${{1.3}{0}}{{.5}{n-1}}C_{n}{n-1}+{{2.3}{1}}{{.5}{n-2}}C_{n}{n-2}+…+n{{.3}{n-1}}{{5}{0}}C_{n}^{0}$ [A]. $n{{.8}^{n-1}}$ [B]. $(n+1){{.8}{n-1}}$C.$(n-1){{.8}{n}}$ [D]. $n{{.8}^{n}}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có: $VT=\sum\limits_{k=1}{n}{k{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}C_{n}{n-k}}$ Mà $k{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}C_{n}{n-k}=n{{.3}{k-1}}{{.5}{n-k}}.C_{n-1}{k-1}$ Suy ra: $VT=n({{3}{0}}{{.5}{n-1}}C_{n-1}{0}+{{3}{1}}{{.5}{n-2}}C_{n-1}{1}+…+{{3}{n-1}}{{5}{0}}C_{n-1}^{n-1})$ $=n{{(5+3)}{n-1}}=n{{.8}{n-1}}$ [collapse] Câu 17: Tính tổng $S=2.1C_{n}{2}+3.2C_{n}{3}+4.3C_{n}{4}+…+n(n-1)C_{n}{n}$ [A]. $n(n+1){{2}^{n-2}}$ [B]. $n(n-1){{2}^{n-2}}$ [C]. $n(n-1){{2}^{n}}$ [D]. $(n-1){{2}^{n-2}}$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $S=\sum\limits_{k=2}{n}{k(k-1)C_{n}{k}}$ Mà $k(k-1)C_{n}{k}=n(n-1)C_{n-2}{k-2}$ Suy ra $S=n(n-1)(C_{n-2}{0}+C_{n-2}{1}+C_{n-2}{2}+…+C_{n-2}{n-2})=n(n-1){{2}^{n-2}}$ [collapse] Câu 18: Tính tổng ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}$ [A]. $C_{2n}^{n}$ [B]. $C_{2n}^{n-1}$ [C]. $2C_{2n}^{n}$ [D]. $C_{2n-1}^{n-1}$ Hướng dẫn Chọn A Ta có:${{\left( x+1 \right)}{n}}{{\left( 1+x \right)}{n}}={{\left( x+1 \right)}^{2n}}$. Vế trái của hệ thức trên chính là: $\left( C_{n}{0}{{x}{n}}+C_{n}{1}{{x}{n-1}}+…+C_{n}{n} \right)\left( C_{n}{0}+C_{n}{1}x+…+C_{n}{n}{{x}^{n}} \right)$ Và ta thấy hệ số của ${{x}^{n}}$ trong vế trái là ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}$ Còn hệ số của ${{x}{n}}$ trong vế phải ${{\left( x+1 \right)}{2n}}$ là $C_{2n}^{n}$ Do đó ${{\left( C_{n}{0} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{1} \right)}{2}}+{{\left( C_{n}{2} \right)}{2}}+…+{{\left( C_{n}{n} \right)}{2}}=C_{2n}^{n}$ [collapse] Câu 19: Tính tổng sau: ${{S}_{1}}={{5}{n}}C_{n}{0}+{{5}{n-1}}.3.C_{n}{n-1}+{{3}{2}}{{.5}{n-2}}C_{n}{n-2}+…+{{3}{n}}C_{n}^{0}$ [A]. ${{28}^{n}}$ [B]. $1+{{8}^{n}}$ [C]. ${{8}^{n-1}}$ [D]. ${{8}^{n}}$ Hướng dẫn Chọn D Ta có: ${{S}_{1}}={{(5+3)}{n}}={{8}{n}}$ [collapse] Câu 20: ${{S}_{2}}=C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}^{2010}$ [A]. $\dfrac{{{3}^{2011}}+1}{2}$ [B]. $\dfrac{{{3}^{211}}-1}{2}$ [C]. $\dfrac{{{3}^{2011}}+12}{2}$ [D]. $\dfrac{{{3}^{2011}}-1}{2}$ Hướng dẫn Chọn D Xét khai triển: ${{(1+x)}{2011}}=C_{2011}{0}+xC_{2011}{1}+{{x}{2}}C_{2011}{2}+…+{{x}{2010}}C_{2011}{2010}+{{x}{2011}}C_{2011}^{2011}$ Cho $x=2$ ta có được: ${{3}{2011}}=C_{2011}{0}+2.C_{2011}{1}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}+{{2}{2011}}C_{2011}^{2011}$ (1) Cho $x=-2$ ta có được: $-1=C_{2011}{0}-2.C_{2011}{1}+{{2}{2}}C_{2011}{2}-…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}-{{2}{2011}}C_{2011}{2011}$ (2) Lấy (1) + (2) ta có: $2\left( C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010} \right)={{3}{2011}}-1$ Suy ra:${{S}_{2}}=C_{2011}{0}+{{2}{2}}C_{2011}{2}+…+{{2}{2010}}C_{2011}{2010}=\dfrac{{{3}{2011}}-1}{2}$. [collapse] Câu 21: Tính tổng ${{S}_{3}}=C_{n}{1}+2C_{n}{2}+…+nC_{n}^{n}$ [A]. $4n{{.2}^{n-1}}$ [B]. $n{{.2}^{n-1}}$ [C]. $3n{{.2}^{n-1}}$ [D]. $2n{{.2}^{n-1}}$ Hướng dẫn Chọn B Ta có: $kC_{n}{k}=k.\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$ $=n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}=nC_{n-1}{k-1}$, $\forall k\ge 1$ $\Rightarrow {{S}_{3}}=\sum\limits_{k=1}{n}{nC_{n-1}{k-1}}=n\sum\limits_{k=0}{n-1}{C_{n-1}{k}}=n{{.2}^{n-1}}$. |
