Coông thức hạ bậc bài tập ví dụ toán 10 năm 2024

Công thức hạ bậc là một khái niệm trong toán học, nó được sử dụng để tìm kiếm một công thức đại diện cho một đa thức có bậc cao hơn. Đây là quá trình giảm bậc của đa thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số.

Muốn học tốt phần này, các em cần nắm rõ công thức và cách áp dụng vào để giải bài tập. Vậy thì, đừng bỏ qua bài viết dưới đây để có thể thành thạo phần công thức hạ bậc trong Toán học nhé!

Hạ bậc lượng giác là tìm cách để đưa những hàm số lượng giác có bậc cao về bậc thấp hơn nó.

Công thức hạ bậc bậc hai

$$\begin{aligned}& \cos a= \pm \sqrt{\frac{1+\cos 2 a}{2}} \\& \sin a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{2}} \\& \tan a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{1+\cos 2 a}}\end{aligned}$$

• Công thức hạ bậc bậc 3

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \tan a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{3 \cos a+\cos 3 a}}\end{aligned}$$

• Công thức hạ bậc bậc bốn

$$\begin{aligned}& \sin a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a-4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}} \\& \cos a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a+4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}}\end{aligned}$$

• Công thức hạ bậc bậc 5

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[5]{\frac{\sin 5 a-5 \sin 3 a+10 \sin a}{16}} \\& \cos a=\sqrt[5]{\frac{\cos 5 a+5 \cos 3 a+10 \cos a}{16}}\end{aligned}$$

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: $\sin ^2 x=\cos ^2 x+\cos ^2 3 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$$\begin{aligned}& \frac{1- \cos2 x}{2} =\frac{1+\cos 4 x}{2} + \cos ^2 3 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+2 \cos 3 x \cdot \cos x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cdot \cos 3 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x \cdot \cos 3 x=0\end{aligned}\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 3x = 0\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\3 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\end{array}\right.\right.\right.$$

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^2 {\frac{3 a}{2}}+\cos 3 a=0$

Lời giải

$$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 3 a}{2}+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 3 a+2 \cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 3 a=-1 \\& \Leftrightarrow 3 a=\pi+k 2 \pi& \Leftrightarrow a=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác này là $\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}$

Ví dụ 3: Hāy giải phương trình $\sin ^2 x=\cos ^2 2x+\cos ^2 5 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 2 x}{2} = \frac{1+\cos 4 x}{2}+\cos ^2 5 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+2 \cos 3 x \cdot \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x\cdot \cos 5 x=0\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 5x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\5 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{5}\end{array}\right.\right.$

Ví dụ 4: Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^ 2 a+\cos 2 a=0$

$$\begin{aligned}& \sin^2 a+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow \frac{1-\cos 2 a}{2}+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 2 a+2 \cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 2 a=-1 \\& \Leftrightarrow 2 a=\pi+k 2 \pi \\& \Leftrightarrow a= \frac{\pi}{2}+k \pi\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác là $\frac{\pi}{2}+k \pi$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x}$

Áp dụng các công thức:

- $\sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}$

- $\cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a - b}{2}$

- $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

Trả Iời

Ta có:

$$\begin{aligned}& \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x \\& =(\sin 5 x+\sin x)+\sin 3 x \\& =2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cdot \cos \frac{5 x-x}{2}+\sin 3 x \\& =2 \sin 3 x \cos 2 x+\sin 3 x \\& =\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)(1) \\& \cos x+\cos 3 x+\cos 5 x \\& =(\cos 5 x+\cos x)+\cos 3 x \\& =2 \cos \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}+\cos 3 x \\& =2 \cos 3 x \cdot \cos 2 x+\cos 3 x \\& =\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)(2)\end{aligned}$$

Từ (1) và (2) ta có:

$A=\frac{\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)}{\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)}=\frac{\sin 3 x}{\cos 3 x}=\tan 3 x$

Vậy $A=\tan 3 x$.

Các em có thể tham khảo thêm về công thức hạ bậc lượng giác tại bài viết: Bí kíp “vàng” giúp các em học tốt lượng giác và luôn đạt điểm cao

Vậy nên các em cần phải ghi nhớ các công thức hạ bậc nếu muốn học tốt phần toán lượng giác. Hãy chăm chỉ thực hành và theo dõi admin nếu muốn học toán tốt hơn nhé!