Đánh giá s là gì trong toán học
|
Đừng nhầm lẫn với Toán học tổ hợp. Show
Nội dung chính Show
Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam. Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử[gc 1] là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức. ( n k ) = n ( n 1 ) ( n k + 1 ) k ( k 1 ) 1 , {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}},} Công thức trên có thể viết dưới dạng giai thừa n ! k ! ( n k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}} , trong đó k n {\displaystyle k\leq n} , và kết quả là 0 khi k > n {\displaystyle k>n} . Tập hợp tất cả các tổ chập k của tập S thường được ký hiệu là ( S k ) {\displaystyle {\binom {S}{k}}\,} . Các tổ hợp có thể là tổ chập gồm k phần từ khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không có sự lặp lại. Như ví dụ nêu phía trên thì không có sự lặp lại. Tuy nhiên, vẫn có thể chọn 2 quả của cùng một loại quả trong ví dụ trên, nếu vậy ta sẽ có thêm 3 tổ hợp nữa: một cặp với hai quả táo, một cặp với hai quả cam và một cặp với hai quả lê. Với những tập hợp lớn hơn, cần phải sử dụng những công thức toán học phức tạp hơn để tìm số tổ hợp. Ví dụ, sấp bài 5 lá có thể gọi là tổ chập 5 (k = 5) lá bài từ 52 lá bài (n = 52). Sấp 5 lá bài hoàn toàn khác biệt nhau và thứ tự của các lá bài không quan trọng. Vậy ta sẽ có 2.598.960 tổ chập như vậy, xác suất để rút một sấp bài 5 lá một cách ngẫu nhiên là 1 / 2.598.960. Ghi chúSửa đổi
Tham khảoSửa đổi[[Thể loại:Trang cần được biên tập lại thuộc chủ đề Toán học]] Nội dung chính Show
Một số ký hiệu được sử dụng rộng rãi trong toán học. Sau đây là danh sách các ký hiệu toán học được sử dụng trong tất cả các nhánh của toán học để biểu thị một công thức hoặc để biểu diễn một hằng số. Hehe ppppp g hợp, một quy ước khác có thể được sử dụng. Cuối cùng, việc lựa chọn ký hiệu là một hành động tùy ý được thực hiện do lịch sử tích lũy của toán học. Ví dụ, tùy thuộc vào ngữ cảnh, thanh ba " " có thể đại diện cho sự tương đồng hoặc một định nghĩa. Tuy nhiên, trong logic toán học, đẳng thức số đôi khi được biểu diễn bằng " " thay vì " = ", với hàm sau biểu thị đẳng thức của các công thức được hình thành tốt. Trong ngắn hạn, quy ước quyết định ý nghĩa. Mỗi biểu tượng được hiển thị cả trong HTML, có cách hiển thị phụ thuộc vào quyền truy cập của trình duyệt vào một phông chữ thích hợp được cài đặt trên thiết bị cụ thể và sắp chữ dưới dạng hình ảnh qua TeX. Mục lục
Hướng dẫnSửa đổiDanh sách này được sắp xếp theo loại ký hiệu và nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc tìm kiếm một biểu tượng không quen thuộc bằng hình thức trực quan của nó. Để biết danh sách liên quan được sắp xếp theo chủ đề toán học, hãy xem Danh sách các ký hiệu toán học theo chủ đề. Danh sách đó cũng bao gồm đánh dấu LaTeX và HTML, và các điểm mã Unicode cho mỗi ký hiệu. (Lưu ý rằng bài viết này không có hai phần sau, nhưng chúng chắc chắn có thể được thêm vào.) Có một hướng dẫn Wikibooks để sử dụng toán học trong LaTeX,[1] và một số danh sách toàn diện về các ký hiệu LaTeX.[2] Cũng có thể kiểm tra xem một điểm mã Unicode có khả dụng dưới dạng lệnh LaTeX hay ngược lại.[3] Cũng lưu ý rằng nơi không có lệnh LaTeX nguyên bản
cho một biểu tượng cụ thể (mặc dù có thể có các tùy chọn yêu cầu thêm gói), biểu tượng có thể được thêm thông qua các tùy chọn khác, chẳng hạn như thiết lập tài liệu để hỗ trợ Unicode,[4] và nhập ký tự theo nhiều cách khác nhau (ví dụ: sao chép và dán, phím tắt, lệnh \unicode{
|- | style="padding:0px;" | nearest integer functionnearest integer tonumbers | x means the nearest integer to x. (This may also be written [x], x, nint(x) or Round(x).) | 1 = 1, 1.6 = 2, 2.4 = 2, 3.49 = 3 |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | { } {\displaystyle {\{\,\!\ \}}\!\,}
| {a,b,c} means the set consisting of a, b, and c.[9] | = { 1, 2, 3,... } |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1
bgcolor=#ffffff align=center |Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle \{\:\ \} \!\,} { | } {\displaystyle \{\ |\ \}\!\,} \{\ |\ \} \!\, { } {\displaystyle \{\;\ \}\!\,}
| {x: P(x)} means the set of all x for which P(x) is true.[9] {x | P(x)} is the same as {x: P(x)}. | {n : n2 < 20} = { 1, 2, 3, 4 } |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | {\displaystyle \lfloor \ldots \rfloor \!\,}
| x means the floor of x, i.e. the largest integer less than or equal to x. (This may also be written [x], floor(x) or int(x).) | 4 = 4, 2.1 = 2, 2.9 = 2, 2.6 = 3 |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | {\displaystyle \lceil \ldots \rceil \!\,}
| x means the ceiling of x, i.e. the smallest integer greater than or equal to x. (This may also be written ceil(x) or ceiling(x).) | 4 = 4, 2.1 = 3, 2.9 = 3, 2.6 = 2 |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | {\displaystyle \lfloor \ldots \rceil \!\,}
| x means the nearest integer to x. (This may also be written [x], ||x||, nint(x) or Round(x).) | 2 = 2, 2.6 = 3, 3.4 = 3, 4.49 = 4, 4.5 = 5 |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center |Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle [\:\ ] \!\,} | [K: F] means the degree of the extension K: F. | [(2): ] = 2 [: ] = 2 [: ] = |- | rowspan=8 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=8 bgcolor=#ffffff align=center | [ ] {\displaystyle [\ ]\!\,} [\ ] \!\, [ ] {\displaystyle [\,\ ]\!\,} [\,\ ] \!\, [ ] {\displaystyle [\,\,\ ]\!\,} | style="padding:0px;" | equivalence classthe equivalence class ofabstract algebra | [a] means the equivalence class of a, i.e. {x: x ~ a}, where ~ is an equivalence relation. [a]R means the same, but with R as the equivalence relation. | Let a ~ b be true iff a b (mod 5). Then [2] = {..., 8, 3, 2, 7,...}. |- | style="padding:0px;" | floorfloor; | [x] means the floor of x, i.e. the largest integer less than or equal to x. (This may also be written x, floor(x) or int(x). Not to be confused with the nearest integer function, as described below.) | [3] = 3, [3.5] = 3, [3.99] = 3, [3.7] = 4 |- | style="padding:0px;" | nearest integer functionnearest integer tonumbers | [x] means the nearest integer to x. (This may also be written x, ||x||, nint(x) or Round(x). Not to be confused with the floor function, as described above.) | [2] = 2, [2.6] = 3, [3.4] = 3, [4.49] = 4 |- | style="padding:0px;" | Iverson bracket1 if true, 0 otherwisepropositional logic | [S] maps a true statement S to 1 and a false statement S to 0. | [0=5]=0, [7>0]=1, [2 {2,3,4}]=1, [5 {2,3,4}]=0 |- | style="padding:0px;" | imageimage of... under...everywhere | f[X] means { f(x): x X }, the image of the function f under the set X dom(f). (This may also be written as f(X) if there is no risk of confusing the image of f under X with the function application f of X. Another notation is Im f, the image of f under its domain.) | sin [ R ] = [ 1 , 1 ] {\displaystyle \sin[\mathbb {R} ]=[-1,1]} |- | style="padding:0px;" | closed intervalclosed intervalorder theory | [ a , b ] = { x R : a x b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}} . | 0 and 1/2 are in the interval [0,1]. |- | style="padding:0px;" | commutatorthe commutator ofgroup theory, ring theory | [g, h] = g1h2gh (or ghg1h2), if g, h G (a group). [a, b] = ab ba, if a, b R (a ring or commutative algebra). | xy = x[x, y] (group theory). [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (ring theory). |- | style="padding:0px;" | triple scalar productthe triple scalar product ofvector calculus | [a, b, c] = a × b · c, the scalar product of a × b with c. | [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]. |- | rowspan=5 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=5 bgcolor=#ffffff align=center |Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle (\) \!\,} Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle (\,\) \!\,} | f(x) means the value of the function f at the element x. | If f(x):= x2 5, then f(6) = 62 5 = 36 5=31. |- | style="padding:0px;" | imageimage of... under...everywhere | f(X) means { f(x): x X }, the image of the function f under the set X dom(f). (This may also be written as f[X] if there is a risk of confusing the image of f under X with the function application f of X. Another notation is Im f, the image of f under its domain.) | sin ( R ) = [ 1 , 1 ] {\displaystyle \sin(\mathbb {R} )=[-1,1]} |- | style="padding:0px;" | precedence groupingparentheseseverywhere | Perform the operations inside the parentheses first. | (8/4)/2 = 2/2 = 1, but 8/(4/2) = 8/2 = 4. |- | style="padding:0px;" | tupletuple; n-tuple; | An ordered list (or sequence, or horizontal vector, or row vector) of values. (Note that the notation (a,b) is ambiguous: it could be an ordered pair or an open interval. Set theorists and computer scientists often use angle brackets ⟨ ⟩ instead of parentheses.) | (a, b) is an ordered pair (or 2-tuple). (a, b, c) is an ordered triple (or 3-tuple). () is the empty tuple (or 0-tuple). |- | style="padding:0px;" | highest common factorhighest common factor; | (a, b) means the highest common factor of a and b. (This may also be written hcf(a, b) or gcd(a, b).) | (3, 7) = 1 (they are coprime); (15, 25) = 5. |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff
align=center |Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle (\,\) \!\,} ] [ {\displaystyle ]\,\ [\!\,}
| ( a , b ) = { x R : a < x < b }
{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a . (Note that the notation (a,b) is ambiguous: it could be an ordered pair or an open interval. The notation ]a,b[ can be used instead.)
| 4 is not in the interval (4, 18). (0, +) equals the set of positive real numbers. |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | ( ] {\displaystyle (\,\ ]\!\,} (\,\ ] \!\, ] ] {\displaystyle ]\,\ ]\!\,} | ( a , b ] = { x R : a < x b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a . | (1, 7] and (, 1] |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center |Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle [\,\) \!\,} [ [ {\displaystyle [\,\ [\!\,} | [ a , b ) = { x R : a x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x . | [4, 18) and [1, +) |- | rowspan=6 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=6 bgcolor=#ffffff align=center | ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \ \rangle \!\,} \langle\ \rangle \!\, ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \,\ \rangle \!\,} | ⟨u,v⟩ means the inner product of u and v, where u and v are members of an inner product space. Note that the notation ⟨u, v⟩ may
be ambiguous: it could mean the inner product or the linear span. There are many variants of the notation, such as ⟨u | v⟩ and (u | v), which are described below. For spatial vectors, the dot product notation, x · y is common. For matrices, the colon notation A: B may be used. As ⟨ and ⟩ can be hard to type, the more "keyboard friendly" forms < and > are sometimes seen. These are avoided in mathematical texts. | The standard inner product between two vectors x = (2, 3) and y = (1, 5)
is: |- | style="padding:0px;" | averageaverage ofstatistics | let S be a subset of N for example, ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } represents the average of all the elements in S. | for a time series:g(t) (t = 1, 2,...) we can define the structure functions Sq( τ {\displaystyle \tau } ): S q = ⟨ | g ( t + τ ) g ( t ) | q ⟩ t {\displaystyle S_{q}=\langle |g(t+\tau )-g(t)|^{q}\rangle _{t}} |- |
style="padding:0px;" | expectation valuethe expectation value ofprobability theory | For a single discrete variable x {\displaystyle x} of a function f ( x ) {\displaystyle f(x)} , the expectation value of f ( x ) {\displaystyle f(x)} is defined as ⟨ f ( x ) ⟩ = x f ( x ) P ( x ) {\displaystyle \langle f(x)\rangle =\sum _{x}f(x)P(x)} , and for a single continuous variable the expectation value of f ( x ) {\displaystyle f(x)} is
defined as ⟨ f ( x ) ⟩ = x f ( x ) P ( x ) {\displaystyle \langle f(x)\rangle =\int _{x}f(x)P(x)} ; where P ( x ) {\displaystyle P(x)} is the PDF of the variable x {\displaystyle x} .[10] | |- | style="padding:0px;" | linear span(linear) span of; | ⟨S⟩ means the span of S V. That is, it is the intersection of all subspaces of V which contain S. Note
that the notation ⟨u, v⟩ may be ambiguous: it could mean the inner product or the linear span. The span of S may also be written as Sp(S). | ⟨ ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) ⟩ = R 3 {\displaystyle \left\langle \left({\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)\right\rangle =\mathbb {R} ^{3}} . |- | style="padding:0px;" | subgroup generated
by a setthe subgroup generated bygroup theory | ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle S\rangle } means the smallest subgroup of G (where S G, a group) containing every element of S. is shorthand for ⟨ { g 1 , g 2 , } ⟩ {\displaystyle \left\langle \left\{g_{1},g_{2},\dots \right\}\right\rangle } . | In S3, ⟨ ( 1 2 ) ⟩ = { i d , ( 1 2 ) } {\displaystyle \langle (1\;2)\rangle
=\{id,\;(1\;2)\}} and ⟨ ( 1 2 3 ) ⟩ = { i d , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) ) } {\displaystyle \langle (1\;2\;3)\rangle =\{id,\;(1\;2\;3),(1\;3\;2))\}} . |- | style="padding:0px;" | tupletuple; n-tuple; | An ordered list (or sequence, or horizontal vector, or row vector) of values. (The notation (a,b) is often used as well.) | ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } is an ordered pair (or
2-tuple). ⟨ a , b , c ⟩ {\displaystyle \langle a,b,c\rangle } is an ordered triple (or 3-tuple). ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \rangle } is the empty tuple (or 0-tuple). |- | rowspan=1 bgcolor=#d0f0d0 align=center | | rowspan=1 bgcolor=#ffffff align=center | ⟨ | ⟩ {\displaystyle \langle \ |\ \rangle \!\,} \langle\ |\ \rangle \!\, Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle (\ |\) \!\,} | ⟨u | v⟩ means the inner product of u and v, where u and v are members of an inner product space.[11] (u | v) means the same. Another variant of the notation is ⟨u, v⟩ which is described above. For spatial vectors, the dot product notation, x · y is common. For matrices, the colon notation A: B may be used. As ⟨ and ⟩ can be hard to type, the more "keyboard friendly" forms < and > are sometimes seen. These are
avoided in mathematical texts. | |} Symbol Bao gồm các chữ cái lộn ngược. Còn được gọi là dấu phụ. Symbol Trong toán học viết bằng tiếng Ba Tư hoặc tiếng Ả Rập, một số ký hiệu có thể được đảo ngược để giúp viết và đọc từ phải sang trái dễ dàng hơn. Một số biểu đồ Unicode của các toán tử và ký hiệu toán học: Một số tham chiếu chéo Unicode: |
