Đề bài
Cho đường tròn \[[O],\] hai dây \[AB, CD\] bằng nhau và cắt nhau tại điểm \[I\] nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:
\[a]\] \[IO\] là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây \[AB\] và \[CD.\]
\[b]\] Điểm \[I\] chia \[AB,\] \[CD\] thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:
+] Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+] Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Kẻ \[OH AB,\] \[OK CD\]
Ta có: \[AB = CD\;\; [gt]\]
Suy ra: \[OH = OK\] [hai dây bằng nhau cách đều tâm]
Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID[tính chất đường phân giác]
Vậy \[IO\] là tia phân giác của góc \[BID\]
\[b]\] Xét hai tam giác \[OIH\] và \[OIK,\] ta có:
+] \[\widehat {OHI} = \widehat {OKI} = 90^\circ \]
+] \[OI\] chung
+] \[OH = OK\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[OIH = OIK\] [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: \[IH = IK \;[1]\]
Xét [O] có\[OH AB\]nên \[HA = HB = \displaystyle {1 \over 2}AB\] [đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy]
Xét [O] có\[OK DC\]nên\[KC = KD =\displaystyle {1 \over 2}CD\][đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy]
Mà \[AB = CD\] [gt] nên \[HA = KC\;\] hay \[AI+IH=IC+IK\] mà \[IH=IK\] [theo [1]]
Suy ra: \[IA = IC\]
Ta lại có \[AB= CD\] [gt] hay \[IA+IB=IC+ID\] mà \[IA=IC\] [cmt] nên \[IB = ID.\]
Vậy \[IA=IC, IB=ID\].