Đề bài
Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E, phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F.
Chứng minh rằng: \[\widehat {AEB} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2}\] và \[\widehat {AFB} = {{\widehat A + \widehat B} \over 2}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Tổng bốn góc trong tứ giác bằng \[360^0\]
Lời giải chi tiết
Vì BE, AE lần lượt là phân giác góc ABC và góc BAD nên\[\widehat {{B_1}} = \dfrac{{\widehat B}}{2};\widehat {{A_1}} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\]
Xét \[\Delta ABE\] có \[\widehat {AEB} = {180^ \circ } - \left[ {\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}}} \right]\]
Suy ra \[\widehat {AEB} = {180^ \circ } - \left[ {{{\widehat A} \over 2} + {{\widehat B} \over 2}} \right]\]
\[= {{{{360}^ \circ } - \left[ {\widehat A + \widehat B} \right]} \over 2}\]
Lại có \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^ \circ }\] [tổng bốn góc trong tứ giác ABCD]
\[ \Rightarrow\widehat C + \widehat D =360^0-[ \widehat A + \widehat B ]\]
\[ \Rightarrow \widehat {AEB} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2}\]
Ta có:\[\widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {xBA}}}{2};\widehat {{A_2}} = \dfrac{{\widehat {yAB}}}{2}\] [tính chất tia phân giác]
Xét \[\Delta ABF\] có \[\widehat {AFB} = {180^ \circ } - \left[ {\widehat {{A_2}} + \widehat {{B_2}}} \right]\]
\[\begin{array}{l}
= {180^0} - \left[ {\dfrac{{\widehat {xBA}}}{2} + \dfrac{{\widehat {yAB}}}{2}} \right]\\
= \dfrac{{{{360}^0} - \left[ {\widehat {xBA} + \widehat {yAB}} \right]}}{2}\\
= \dfrac{{{{360}^0} - \left[ {{{180}^0} - \widehat B + {{180}^0} - \widehat A} \right]}}{2}\\
= \dfrac{{\widehat A + \widehat B}}{2}
\end{array}\]
Vậy \[ \widehat {AEB} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2}\] và \[\widehat {AFB} = {{\widehat A + \widehat B} \over 2}.\]